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1、功率谱估计方法综述：简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。尽管随机信号的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱出发进行研究才有意义。信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、
2、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。功率谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现代功率谱估计）。非参数化方法有相关函数法(BT法)、周期图法、平均周期图法、平滑平均周期图法等；而参数化谱估计有R模型法、移动平均模型法(简称MA模型法)、自回归移动平均模型法(简称ARMA模型法)、最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、
3、Prony谱线分解法以及capon最大似然法等，由于涉及许多复杂数学计算，在此未作详细数学推导，以下介绍几种常用的功率谱估计方法一、非参数化方法（经典法）经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。1、自相关法又称相关函数法(BT法)，根据维纳—辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱函数是一傅里叶变换对，对于平稳随机信号来说，其相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确定的．这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值，求出自相关函数，然后作Fourier变换，得到功率谱。由于随机序列{X(n)}的自相关
4、函数R(n)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m上，设取样间隔为，可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密度BT法是先估计自相关函数Rx(m)(
5、m
6、=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值。即其中可有式得到。Fs=500;%采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));nfft=512;cxn=xcorr(xn,'unbiased');
7、%计算序列的自相关函数，matlab函数xcorr（求自相关函数）unbiased无偏CXk=fft(cxn,nfft);%对cxn（即自相关函数）进行快速傅里叶变换，nfft为周期Pxx=abs(CXk);%对CXk（频谱）取绝对值（为什么取绝对值）index=0:round(nfft/2-1);%计算出各点对应的功率谱k=index*Fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);2、周期图法周期图法是把随机序列x(n)的N个观测数据
8、视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得x(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。Matlab代码示例2：Fs=600;%采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=512;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法计算功率谱密度，xn为功率谱密
9、度信号，window为窗口，nfft为采样点数，fs采样频率plot(f,10*log10(Pxx));window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法figure(1)plot(f,10*log10(Pxx));3、平均法即Bartlett平均周期图法，是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均．将长度为N的数据分为L段，先对每段数据用周期图法进行谱估计，然后对L段求平均得到长度为N的数据的功率谱．
10、平均法可视为周期图法的改进。周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的，有一个定理：如果是不相关的随机变量，且都有个均值及其方差，则可以证明它们的算术平均的均值为。即：平均法将的N个数据分成L段（N=ML），若各数据段相互独立，则平方后估计量的方差是原来不分段估计量方差的。所以当时，估计量的方差趋于0，达到
