功率谱估计现代方法

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第四章功率谱估计的现代方法4.1从经典谱估计到现代谱估计4.2谱估计的参数模型方法4.3AR模型的Yule-Walker方程4.4Levinson-Durbin算法4.5AR模型的稳定性及其阶的确定4.6AR谱估计的性质 4.7格型滤波器4.8AR模型参数提取方法4.9AR谱估计的异常现象及其补救措施4.10MA和ARMA模型谱估计4.11白噪声中正弦波频率估计 4.1功率谱估计的经典方法一、功率谱概念：一个离散平稳随机过程，在时域用自协方差序列或者自相关序列描述。在频域中，是用功率谱来描述的。功率谱反映随机过程的功率密度随频率变化的规律。——功率密度谱而实际中，我们只能观测到有限个数据，它们往往是随机过程的一个取样序列中的一般数据，我们必须根据这些数据来估计随机过程的功率谱，也就是说从有限长信号中估计出来。 二、估计理论中的几个基本概念设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值方差，自相关出数or功率谱）。是我们得到的估计值，也是一个随机变量，那么对a估计的质量（近似程度）可以从以下一个方面考虑：1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示定义为：表示估计量的均值与真值a之差。若B=0的估计为无偏估计，反之为有偏估计若为渐近无偏估计（N为观测数据的个数）。我们总希望，估计是无偏的or渐近无偏的是高质量的估计。 2.估计方差表示各次估计值相对估计均值的分散程度。方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和要同时考虑。3.估计的均方误差定义：不难证明，我们认为均方误差较小的估计，质量更好些。若有：，称是a的一致估计，显然一致估计包含了偏差和方差都渐近0。 功率谱估计的方法很多，但分为二类：一类是经典法，另一类是现代方法经典方法主要包括有自相关法（也称间接法）和周期图法（又称直接法）下面分别简单说明一下。三、自相关法：（理论基础是维纳——率钦定理）即：对于一平稳离散随机信号来说，它的自相关函数与它的功率谱之间构成一对付里叶变换： 若x(n)是各态遍历的，其自相关函数可由它的一个取样时间序列用时间平均的方法求出，即：在大多数应用中，x(n)是实信号：（*共轭）一般只能观测到随机信号一个取样时间序列的有限个取样值（例如N个值），表示为：自相关函数只能由这N个取样数据来估计，自相关法是常用的一种估计方法。 自相关法步骤：首先由估计出再对求其傅立叶变换，即得x(n)的功率谱：可以证明，对于固定延迟，的一致估计。四、周期图——直接法由式可见：式子右端，实际上是x(n)与x(-n)的卷积运算，若x(n)的傅立叶变换为，则x(-n)的傅立叶变换为对上式两端去傅立叶变换： 将上式的在单位圆上等间隔取值得：简记为：可以用FFT快速计算——周期图法。五、经典法的缺点不管数据记录多长（N多大），周期图法和自相关法都不是功率谱的良好估计，主要因为存在以下两个难以克服的固有缺点： ⒈频率分辨率不高（频率分辨率是指区分两个邻近频率分量的能力）因为：频率分辨率（Hz）反比于数据记录持续时间（长度，以秒计）。而实际中，不可能获得长的数据记录。2.经典法都是取一个长为N的取样序列，除此之外的序列值都看成0，相当于在进行FFT前对无限长的数据序列进行了加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。我们知道：矩形窗的频谱主瓣不是无限窄，且有旁瓣存在，这就造成了能量向旁瓣中“泄漏”，且使分辨率降低，产生假的谱峰。 尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法）仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方法的研究和应用。现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线性预测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最大似然法（ML法）。目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起，理论也在不断完善和发展中。 4.2谱估计的参数模型方法通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数据序列加窗的隐含假设。一、模型法步骤：以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行：①设模型；②算法；③再计算谱⒈为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖于对些随机过程的理论分析的实验研究。⒉根据观测数据估计模型的参数各种算法研究。⒊用估计得到的模型参数计算功率谱。（PS） 二、模型例如：实际应用中遇到的随机过程大多数可以用有理传输函数模型很好地逼近，如图：线性系统：是前馈（or动平均）支路的系数，又称MA系数。是后馈（or自回归）支路的系数，又称AR系数。该模型的输出和输入间满足差分方程：U(n)x(n) 输出功率谱和输入功率谱之间满足：或：前面这三个式子H(Z)（传输函数）、x(n)（差分方程）、功率谱，表示“极点一零点”模型，称为ARMA（p,q）模型。1.当只有零点时，模型为：--模型（阶滑动平均模型）(除外，所有MA系数=0) 2.当都为极点时，模型为：模型，即P阶自回归模型= 三、Wold分解定理：内容：任何广义平衡随机过程可分解成一个完全随机的部分和一个确定的部分。（所谓确定随机过程是指可根据无限个过去取样值，完全预测的随机过程。）Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的，那么任何ARMAorAR过程，可以用一个无限阶的MA过程表示。Kolmogorov定理也有类似结论：任何ARMAorMA过程可以用一个无限阶的AR过程表示。 这两个定理有很重要的意义：1.如果选择了一个错误模型（即)只要模型的阶足够高，它仍然能比较好地逼近被建模的随机过程。2.估计ARMAorMA参数一般需解一组曲线性方程。而估计AR模型参数通常只需解一组线性方程。所以我们都可以用AR模型来逼近，只是选择足够高的阶。 4.3AR模型的Yule-Walker方程以AR模型为基础的谱估计：来计算这就需要知道P，P个AM系数以及模型的激励源的方差。为此，必须把这些参数和已知（or估计到的）自相关函数联系起来这就是著名的Yule-Walker方程。 一、推导：将AR模型的差分方程的自相关函表达式：设AR模型的冲激响应是h(n)，在方差的白噪声序列u(n)作用下产生输出x(n):设h(n)是因果的h(n)u(n)x(n) 根据初值定理：这就是AR模型的Yule-Walker方程。 二、求解为求出AR模型参数：可先从上式中选择的P个方程，解出，再代入的方程，求。也可以解方程组：只要已知or估计出（P+1）个自相关函数值，即可由此方程组解出（P+1）个模型参数 4.4Levinson-Durbin算法解上节讲的矩阵方程（用高斯消元法）需要的运算量为过大，为此我们引入Levinson-Durbin算法。Levinson算法推导：1.解0阶Yule-Walker方程：构造1阶预备方程：2.求解1阶Yule-Walker方程：得解： 将上式两端各项左乘1阶系数矩阵，并利用（1）的结果，得：解上式得：同样构造2阶预备方程： 3.求解2阶Yule-Walker方程：将求解：上式各项左乘2阶系数矩阵，得求解上式，得如此求解下去。 归纳得：算法框图：自相关函数倒序，移位R(0)②①R(1)R(2)R(k-1)R(k)④③⑤⑤⑤⑤┉┋┋R(1)R(2)R(k)R(k+1)ΣΣ┋┋ 最后目的，求出更高一阶的参数，直至递推完成，到P阶为止。应得到，再代入功率谱公式：在()范围内N个等间隔频率点上均匀取样：Note：如果自相关函数值不是已知的，而只知道N个观测数据那么AR（P）模型参数可按以下两种方法之一计算：(1)用由估计出自相关函数值，然后再用Levinson算法根据计算AR(P)的估计值。(2)利用最小二乘方准则，直接由数据计算AR(P)模型参数，这种方法将在4.8节讨论。 4.5AR模型的稳定性和它的阶的确定一、AR模型的稳定性AR(P)模型稳定的充分必要条件是：的极点(即的根）都在单位圆内。如果Yule-Walker方程的系数矩阵，即自相关矩阵是正定的则其解所构成的A(z)的根都在单位园内。在Levinson算法递准计算过程中，得到各阶AR模型激励信号的方差（能量）随阶次增加而递减，从而得到：4.再由得，反射系数。or说，在Levinson算法递准计算中,如果有则AR(P)模型一定是稳定的。 二、AR模型的阶通常事前不知道AR模型的阶。若阶选得太低，功率谱受到的平滑太厉害，分辨率低；阶选得太高，固然能提高分辨率，但会出现许多虚假的谱峰。因此，在谱估计中，要把AR(k)的阶选得等于or略大于P。一种简单和直观的确定AR模型的阶的方法，是不断增加模型的阶的同时，观察预测误差功率（or)当其下降到最小时，对应的阶便选定为模型的阶。但这很难确定降到什么程度才最合适。为此，有三种不同的误差准则为确定模型阶的依据。 1.最终预测误差（FPE）准则：AR(k)过程的最终预测误差定义为：其中:N数据样点数目2.Akaike信息准则（AIC)这是利用最大似然法推导出的一个准则，对于高斯分布ARMM(p,q)过程，AIC定义为：式中，是过程的白噪声方差的最大似然估计。对MAorAR过程，定义为：这里，i是假设的ARorMA模型的阶.上两式 3.判别自回归传输函数（CAT）法这一准则是：使实际预测误差滤波器和估计滤波器的均方误差之间的差的估计最小所对应的阶作为最佳阶。式中，实验表明！但为了方便，AR模型的阶在到范围内选取，一般可获令人满意的结果。（N是输入数据个数） 4.6AR谱估计的性质一、AR谱估计隐含着自相关函数的外推——这是AR谱估计分辨率高的根据原因经典的方法认为不知道的自相关函数。但现代谱估计的方法对其进行外推，我们具体作法是这样。综述：设要估计一个AR(P)过程的谱有（P+1）个取样值为。将已知的这(p+1)个自相关取样值代入Yule-Walker方程，用Levinson算法求解，就得到AR(P)模型的参数估计值，然后将其代入谱计算公式，便得AR(P)的谱估计： 另一方面，谱与自相关序列之间存在付里叶变换关系，即可以认为是由随机过程的自相关序列的估计值经z变换得来的，即：由上两式不难得到：反Z变换：上式左端这里假设Filter是因果的，且有h(0)=1上式右端这里，的系数。因此，有： 对于，上式为：这里，假设对于，有：或者： 二、AR谱估计与一维高斯过程最大熵谱估计等效最大熵估计是基于将一段已知的自相关序列进行明显地外推以得到未知的自相关取样值。外推后的自相关序列所对应的时间序列应当具有最大熵。这意味着：在具有已知（P+1）个自相关取样值的所有时间序列中，该时间序列将是最随机or最不可预测的，或说它的谱将是最平坦的——这种外推法就称为最大熵谱估计（MESE）。设有一个高斯随机过程，每个取样序列的熵正比于MESE的求取方法：是在约束条件下，使取最大值的，便是谱估计结果！ 由Yule-Walker方程从已知（P+1）个自相关函数求取！可以看出，在已知情况下，对于高斯过程，MESE与AR(P)是等效的！ 三、AR谱估计与线性预测谱估计等效线性预测问题：设有一AR(P)过程，有P个已知数据线性组合：若x(n)是平衡随机信号，那么与时间n无关，由线性预测： 可见，这与AR(P)模型的Yule-Walker方程相同.若它似具有同样的自相关值，则解必相同，即也就是说，最佳线性预测系数=AR模型参数最小预测误差功率=激励噪声方差。因此AR(P):如果:则: 4.7格形滤波器我们定义P阶线性预测多项式为：它的倒序多项式：,即这样理解由LevinsonAlgorithm（算法）： 将此式表示为:再用多项式表示:由（1）、（2）式得矩阵形式：这里是由低阶到高阶，称为前向递推。 x(n)经预测误差滤波器后，产生输出称为前向预测误差。即：显然，前向预测是指由数据预测x(n)。若由数据预测，则称为后向预测。 式得:对应时域关系式:递推从P=0开始：u(n)=e(n)x(n)x(n) (4)式信号流图：这就是格型预测误差滤波器or分析Filter。格型Filter最重要的两个性质是：⒈各阶（各级）参数是反射系数，其模均<1，可保证Filter稳定。⒉各级间是“去耦”的，因此各级调至最佳可以达到整个Filter最佳。++Z(n)+…--ΣΣ…--ΣΣ-Σ-Σ 4.8AR模型参数提取的方法实际应用中，常需根据有限个信号取样值来估计AR模型的参数，应用较多的有：⑴Yule-Walker法or自相关法；⑵协方差法；⑶Burg法。这三种方法都可以用时间平均代替集合平均的最小平方准则推导得到。一、Yule-Walker法图一：预测误差：u(n)x(n) 图二：由图1：从理论上讲：写成矩阵形式：是x(n)的(p+1)阶自相关矩阵x(n) 实际上：即用时间平均最小化导出集合平均最小化。即由： 二、CovarianceMethod（协方差法）用时间平均代替集合平均的最小二乘方准则。与方法一区别只是求和范围不同。存在问题：协方差法存在稳定性问题，可能q+1时，有：54 但是，由上式求出{ai}后，并不能求出{bk}k=1,2,..q,因为第一个方程是非线性方程。求解困难。此外，由上式求{ai}也存在问题。因为首先要估计自相关函数，当模型阶次高时，长滞后时间的自相关函数估计不准确，因而得不到{ai}的好的估计。55 构造一个m>q的超定线性方程组，用最小二乘法解这个超定线性方程组。解决的方法：用均方误差最小求{ak}，即使最小二乘方修正Yule-Walker方法56 4.11白噪声中正弦波频率的估计估计淹没在噪声中的正弦波的频率是信号处理最有实际应用价值的技术之一，也是测试所有谱估计性能的基础。确定性信号x(n)为任意形式的信号时，可作傅里叶级数分解，变成许多正弦分量的线性组合。对于单个正弦波或用傅里叶分析能够分辨其频率的多个正弦波，周期图是进行频率估计的最佳方法，但对于用傅里叶分析无法进行频率分辨的多个正弦波，周期图是不适用的。本节我们将讨论复白噪声中复正弦波频率的估计方法。 1.最大似然法先讨论白噪声中存在单个复正弦信号的情况。（1）设复白噪声w(n)中有一个复正弦信号，为：式中，分别是正弦波的振幅、频率和相位，假设它们是待估计的未知常数。设平稳随机过程x(n)=s(n)+w(n)的一次实现的N个取样值为：由于已知假设s(n)是确定信号，v(n)是复高斯白噪声，所以数据矢量x的概率密度函数为：为求的最大似然估计，需求解p(x-s)对该三参数的最大化问题，或者求解： 求解方法： 重要结论：在白噪声中含有单个复正弦信号，其频率的最大似然估计是输入数据序列的周期图的最大值所对应的频率。即： （2）复白噪声中存在多个复正弦信号设矢量s由M个正弦波构成：与单个复正弦波情况相似，求正弦波参数的最大似然估计，需使下面函数最小化：其中， 令：则式(1)可以写成：假设E是已知矩阵，求上式最小化（线性最小二乘问题）解得： 再求得频率的最大似然估计，最后求得正弦波其余参数的最大似然估计。如果各正弦波的频率用周期图能进行分辨，则：复白噪声中多个复正弦信号的频率最大似然估计=对应于周期图中最大值所在的频率 3.特征分解频率估计在低信噪比情况下，即使采用修正协方差法，AR谱估计的频率分辨率也是不高的，因而它不能用于频率估计，这时常采用特征分解技术。特征分解技术的主要思想：把自相关矩阵中的信息空间分成两个子空间，即信号子空间和噪声子空间；这两个子空间中的矢量的函数在正弦波频率上有尖锐的峰，据此即可估计正弦波的频率。 5.噪声子空间频率估计信号矢量与噪声子空间中的所有矢量（包括任何线性组合）是正交的。即：这一性质奠定噪声子空间频率估计的基础。噪声子空间频率估计的两种主要方法：Pisarenko法MUSIC法 (1)Pisarenko谐波分解Pisarenko谐波分解(PHD)方法是一种以谐波信号为特定对象的谱估计方法，它将谐波频率的估计转化为信号相关矩阵的特征值分解。是应用特征分析进行功率谱估计与谐波恢复的最早方法之一。