概率论课件第五章课件

《概率论课件第五章课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章大数定律与中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理第五章大数定律与中心极限定理本章是关于随机变量序列的极限理论。目的是从理论上对第一章中提出的“频率的稳定性”给出严格的数学证明。大数定律：对于随机变量序列描述其平均值在什么条件下以什么形式呈现出稳定性。大数定律第五章第一节一、切比雪夫Chebyshev不等式二、几个常见的大数定律定义1依概率收敛于a，记为设随机变量序列有:则称，如果存在常数a，使得对于任意或不等式成立，则称此式为切比雪夫不等式。存在，则对任意证明设X为连续性（离散型类似），其密度为设随机变量X的数学期

2、望命题（切比雪夫Chebyshev不等式）则注：Chebyshev不等式对随机变量在以的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界为中心可见D(X)越小，事件的概率越接近1。X的值密集在其数学期望附近的概率越大。例如：对未知分布X，取例1一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?解设X为同时开的灯数。由二项分布用切比雪夫不等式已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数解设每毫升白细胞数为X依题意，EX=7300,DX=7002所求为由切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200～9400之间的概率.

3、平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式例2即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）则即对任意的ε>0，设X1,X2,…是一列相互独立的随机变量序列，它们都有相同的数学期望证明由切比雪夫不等式得：所以其取值接近于其数学期望的概率接近于1.当n充分大时，差不多不再是随机的了，注：定理2（辛钦定律）且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，则辛钦大数定律中，

4、随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了。定理3（伯努利大数定律）P是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，有或设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，即证明引入随机变量试验中A发生，试验中A不发生，显然且又由于各次试验相互独立，所以独立同分布,则由辛钦大数定律可得例3如何测量某一未知的物理量a,使得误差较小？解在相同的条件下测量n次，其结果为，它们可看成是相互独立、相同分布的随机变量，并且有数学期望为a.于是由辛钦大数定律可知，当时，有因此我们可取n次测量值的算术平均值作为a得近似值，即,当n充分大时误差很小。例4如何估计一大批产品的次品率

5、p？由伯努利大数定律可知，当n很大时，可取频率作为次品率p的估计值。大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性请看：高尔顿订板试验自上端放入一个小球，任其自由落下，在下落的过程中小球碰到钉子是从左边落下的概率p=0.5，碰到下一排钉子也是如此，最后落入底板中的某个格子中，任意放入一个球，此球落入那个格子中预先难以确定。但实验表明，放入大量的球，则其最后呈现的曲线总是类似。中心极限定理：对于随机变量序列其部分和在什么条件下以正态分布为极限分布。中心极限定理第五章第二节独立同分布的中心极限定理棣莫佛-拉普拉斯定理则这种量X一

6、般都服从或近似服从正态分布。观察表明：如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响X中所起的作用不大。定理1（独立同分布的中心极限定理）且具有相同的期望和方差则对任意实数x,有设为一列独立同分布的随机变量，即，或例题某人要测量甲、乙两地之间的距离。限于测量工具，分成1200段独立测量。每段测量误差（单位厘米）服从于（-0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误差的绝对值超过20厘米的概率。解设第k段的测量误差为且是独立同分布的随机变量。且累计误差即总距离误差为由定理1可得根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的

7、指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为解设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)例2由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)1-下面介绍定理1的特殊情况。定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）DeMoivre-Laplace设随机变量服从参数为的二项分布则对任意的x，有即或所以其中相互独立，且都服从（0-1）分布。由独立同分布

8、的中心极限定理可得证因为棣莫佛－拉普拉斯定理指出二项分布的极限分布为正态分布。高尔顿板可以看作是伯努利试验的