韶关学院第十四届数学建模竞赛题参考解答

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1、广东第二师范学院第三届数学建模竞赛试题及参考解答一、最大收益某食品厂生产Ⅰ型和Ⅱ型饼干.在每种饼干的生产过程中，都需要使用搅拌机（A）、成型机（B）和烘箱（C）三种设备.已知每生产一吨Ⅰ型饼干需要在A、B、C上工作的时间分别为4、5、8小时.对Ⅱ型饼干，相应的时间为6、4、3小时.每生产一吨Ⅰ、Ⅱ型饼干均可获得利润7百元.这些饼干在市场上都很畅销.但由于条件限制，A、B、C每天可供利用的工时不能超过24、20、24小时，试问应如何安排每天Ⅰ、Ⅱ型饼干的生产量，才能使该厂获得最大的收益？解：设每天Ⅰ、Ⅱ型饼干的生

2、产量分别为吨，每天的利润为，则此问题的数学模型为：s.t.------（10分）这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线，，以及组成的凸五边形区域.直线在可行域内平行移动.------（18分）易知：当过与的交点时，取最大值.竞赛试题及参考答案第6页共6页由解得此时(百元).------（25分）故每天生产Ⅰ型饼干吨，Ⅱ型饼干吨，相应的收益最大是3200元.二、快件派送如图，快递员从C3骑车出发往A2、C1、E2三处送快件，然后回到C3.图中数字单位为hm(百米)，假设车速为15km/h，送快

3、件时每处耽误5min，试为快递员设计一条最短路线.问从出发算起30min内该快递员能否回到出发地点？解：第一步：先找出C3到达A2、C1、E2各点间最短距离如下表：(单位hm)从到C3A2C1E2C309810A2901116C181108E2101680-------------（10分）第二步：将第一步中表格转化为各地点间的加权无向图G(见下图)161.C3；2.A2；3.C1；4.E2图各点间加权无向图------（17分）第三步，按最优邻近法求最佳线路的具体过程如下：竞赛试题及参考答案第6页共6页①开始

4、于顶点1，组成闭回路11，在下一阶段最邻近1的顶点为顶点3，建立闭回路131，顶点4最邻近顶点3，建立闭回路1341.②将顶点2插入上面闭回路，得到6个闭回路是13421、13241、14321、14231、12341、12431，它们的长度分别为41、45、38、45、38、41.在这些闭回路中长度最短的回路14321、12341为最佳线路，即C3—A2—C1—E2—C3或C3—E2—C1—A2—C3，距离均为3800m.按所给数据，骑车和派件耽误时间共(min)故从出发算起半小时内该快递员不能回到出发地点.

5、------（25分）三、雪球融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，试推导雪球的体积随时间变化的关系式，并求3个小时后雪球的体积.解：设t时刻雪球的体积为,表面积为s(t),则，--（10分）根据球体的体积(=)和表面积(s=42=)的关系得s(t)=，引入新常数r=，再利用题中的条件得,v(0)=288,v(2)=36，--------------------（15分）分离变量积分得方程的通解为v(t)=(c－

6、rt)---------------（20分）利用条件v(0)=288和v(2)=36得c=36，r=9.代入得雪球体积随时间变化的关系式为v(t)=（实际问题要求t∈[0,4]）.3个小时后雪球的体积为：(3)=.--------------（25分）四、宠物食谱一名兽医推荐宠物狗每天的食谱中应该包含100个单位的蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪.一个商店的宠物食物部有4种食物，分别为A、B、C、D.每千克食物所含的营养成分如下：食品蛋白质卡路里脂肪竞赛试题及参考答案第6页共6页A5202B42

7、52C71010D1056若单从该商店的这四种食物中取材，是否存在某种方案满足兽医推荐的食谱？解：此问题是对食物A、B、C、D进行混合，使得混合物中各种营养成分的含量与兽医推荐的量相等，故可列出线性方程组对此问题进行求解.设宠物狗一天食谱中食物A、B、C、D的量分别为、、、（千克）.为保证其食谱满足兽医的推荐，可得如下线性方程组：.---------（10分）同解方程组为：.----------（15分）通过回代的方法确定上述方程组的非负解（实际问题的需要）.令，则.于是，，此时要求.----（20分）将与回代

8、，求得，此时要求.然而,故无解.这就说明，不可能找到方程组的非负解，也即，该商店中的这四种食物无论如何配比，都不能完成兽医的配方要求.--------（25分）五、最优生产甲车间为乙车间生产某种原料，已知乙车间平均每月需要100件，而甲车间平均每月生产500件，因此甲车间要进行等周期分批有间断的生产.另外甲车间的产品运到乙车间时要包装，平均每批的包装费为4元.若运到乙车间后暂时来不及加