椭圆概念,性质,直线和椭圆位置关系

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1、高三数学【教学内容】椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系【教学目标】1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题。2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算。3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题。【知识讲解】例1、

2、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点A（3，0），求椭圆的方程。分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为，把点A（3，0）代入得则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为。2°若焦点在y轴上，设椭圆的方程为同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为。说明：求出了焦点在x轴上的椭圆为后，不能简单地

3、认为，焦点在y轴上的椭圆的方程就是。因为椭圆过一定点（3，0），则求焦点在y14轴上的椭圆仍应先设出方程，再用代入法求得。例2、已知椭圆，直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，若kOA+kOB=2，求直线斜率k。解：解方程组消去y，整理得（1+4k2）x2+32kx+60=0△=(32k)2-4×60(1+4k2)=16(4k2-15)>0设A(x1，y1)、B(x2，y2)kOA+kOB=2等价于即y1x2+y2x1=2x1x2即(kx1+4)x2+(kx2+4)x1=2x1x1整

4、理得(k-1)x1x2+2(x1+x2)=0∵x1+x2=x1x2=∴(k-1)+2·=0解之得k=-15满足△>0∴k=-15例3、已知椭圆C的直角坐标方程为，若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于A(x1、y1)，B(x2，y2)，两点（其中y1>y2），且满足，试求直线的方程。解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0），设的方程为y=k(x-1)，则与C的两个焦点：A(x1、y1)，B(x2，y2)，y=k(x-1)①，①代入②得：②(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12

5、=0，x1+x2=③x1·x2=④，由条件∴，即x1=3-2x2⑤∴x2=，x1=，代入④得：k2=，k=±，易见x1y2，故k=∴方程：y=-14例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率。解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30°，则，∴，∴椭圆的长轴长为8，短轴长为12，，∴离心率。例5、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜

6、率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离

7、PF1

8、=a+ex1，到右焦点F2的距离

9、PF2

10、=a-ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。解：由椭圆方程可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率，由焦

11、半径公式可知，。又直线的方程为：即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知，，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，∴，14∴为定值。例6、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，，c=1，∴，，点M到椭圆左准线的距离，∴，∴，∴或，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存

12、在。例7、直线：6x-5y-28=0交椭圆（a＞b＞2）于B、C两点，A（0，b）是椭圆的一个顶点，而△ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程。解：设BC的中点D（x0，y0）,F（c，0）,由定比分点公式可知，，∴，又点D在直线上，∴①又设B（x1，y1）、C（x2，y2）则两式相减得：，代入得：，∴2a2-5bc=0②又a2=b2+c214由①、②可得c=2或。当c=2时，代入①得b=4，则a2=20，当时，舍去。∴所求椭圆的方程为。例8、焦点在x轴上的椭圆绕上顶点逆时针旋转90°后