椭圆的概念,性质,直线和椭圆的位置关系.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途高三数学【教学内容】椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系【教学目标】1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题.2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算。3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问

2、题。【知识讲解】例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上,且过点A（3，0），求椭圆的方程。分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为，把点A（3，0）代入得则a2=9，b2=1,所以所求椭圆方程为。2°若焦点在y轴上,设椭圆的方程为同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为。说明:求出了焦点在x轴上的

3、椭圆为后,不能简单地认为，焦点在y轴上的椭圆的方程就是。因为椭圆过一定点(3,0），则求焦点在y个人收集整理勿做商业用途轴上的椭圆仍应先设出方程,再用代入法求得。例2、已知椭圆,直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，若kOA+kOB=2，求直线斜率k。解：解方程组消去y,整理得(1+4k2）x2+32kx+60=0△=（32k）2—4×60(1+4k2）=16（4k2—15）〉0设A（x1，y1）、B(x2，y2)kOA+kOB=2等价于即y1x2+y2x1=2x1x2即(kx1+4)

4、x2+（kx2+4）x1=2x1x1整理得(k-1)x1x2+2(x1+x2）=0∵x1+x2=x1x2=∴(k—1）+2·=0解之得k=-15满足△>0∴k=-15例3、已知椭圆C的直角坐标方程为，若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于A(x1、y1)，B(x2，y2)，两点(其中y1〉y2）,且满足,试求直线的方程.解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0），设的方程为y=k(x—1)，则与C的两个焦点：A（x1、y1)，B(x2,y2),y=k(x-1）①，①代入②得:②（3+

5、4k2)x2-8k2x+4k2—12=0，x1+x2=③x1·x2=④，由条件∴，即x1=3—2x2⑤∴x2=，x1=，代入④得：k2=，k=±，易见x1

6、为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离，r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离.求证：为定值.分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1,y1）到左焦点F1的距离

7、PF1｜=a+ex1，到右焦点F2的距离｜PF2

8、=a—ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用.解：由椭

9、圆方程可知a2=2，b2=1则c=1,∴离心率，由焦半径公式可知，。又直线的方程为：即x1x+2y1y—2=0，由点到直线的距离公式知，，又点（x1，y1)在椭圆上，∴2y12=2=x12，∴个人收集整理勿做商业用途，∴为定值.例6、已知椭圆,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由.解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4,b2=3，∴a=2，,c=1，∴，，点M到椭圆左准线的

10、距离，∴,∴，∴或，这与x1∈[—2，0）相矛盾，∴满足条件的点M不存在。例7、直线：6x—5y—28=0交椭圆（a＞b＞2）于B、C两点，A（0，b）是椭圆的一个顶点，而△ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程。解：设BC的中点D（x0，y0），F(c，0），由定比分点公式可知,，∴，又点D在直线上，∴①又设B（x1,y1)、C(x2,y2）则两式相减得：,个人收集整理勿做商业用途代入得:，∴2a2—5bc=0②又a2=b2+c2由①、②可得c=2或。当c=2时，代入①得