1.2 常微分方程与偏微分方程

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1、§1.2基本概念定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.1.常微分方程如如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.2.偏微分方程如定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数.一阶微分方程；二阶微分方程；四阶微分方程.二、微分方程的阶如:n阶微分方程的一般形式为三、线性和非线性1.定义如果方程2.n阶线

2、性微分方程的一般形式举例：如不是线性方程的方程称为非线性微分方程非一次二阶非线性四、微分方程的解定义4例2证明:微分方程的解不唯一1.显式解与隐式解相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如有显式解:和隐式解:2.通解与特解定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:n阶微分方程通解的一般形式为注1:例3证明:由于代入得1）验证是方程的解又由于2）验证中常数的独立性注2:注3:类似可定义方程的隐式通解如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数

3、的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.在通解中给定任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如定义63.定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题.常见的定解条件是初始条件n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.常见的定解条件是初始条件,注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为注2:Cauchy问题:例4解由于且解以上方程组得复习：基本概念一、常微分方程与偏微分方程二、微分方

4、程的阶三、线性和非线性四、微分方程的解五、积分曲线和方向场1.积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.如：的积分曲线为五、积分曲线和方向场1.积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.如：的积分曲线族为2.方向场所规定的方向场.在方向场中,方向相同的曲线称为等斜线.例5积分曲线方向场用两个或两个以上的关系式表示的微分方程六、微分方程组称为微分方程组。例如Lorenz方程n阶方程（7）可用一阶方程组代替注1、把都理解为未知函数，方法：取变换则n阶方程（7）可用一阶方程组代替n阶方程（7）可用一阶方程组注1、代替可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组注2、可以将高阶

5、微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组或更简单的写成向量的形式其中注2、附录：常微分方程的发展历史发展初期：“求通解”时代发展早期：“求定解”时代发展中期：“求所有解”时代发展后期：“求特殊解”时代不断发展中……作业P27.4,8(4)