第二章-导数与微分教案

《第二章-导数与微分教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第二章　导数与微分知识点：教学目的要求：（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。（2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。（3）理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。教学重点：1．导数的概念2．导数的几何意义3．导数的基本公式4．四则运算求导法则5．复合函数求导法则6．隐函数的求导法则7．一阶微分的形式不变性教学难点：1．导数的概念2．复合函数的求导法则3．隐函数的求导法则

2、4．微分的形式不变性第一节　导数的概念【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。【教学重点】1．导数的定义；2．用导数的定义求函数在某点的导数；3．导数的几何意义。【教学难点】1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。【教学时数】2学时【教学进程】一、两个引例引例1自由落体运动的瞬时速度。提问：1．自由落体运动的位移公式；2．自由落体运动的瞬时速度公式；3．自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）

3、。由学生回答可知自由落体运动的位移公式为，由于物体的位移是随时间连续变化的，因此在很短的时间间隔内（从到）内，速度变化不大，可以用平均速度作为时的瞬时速度的近似值，即==显然，越小，与越接近，当无限变小时，平均速度就无限接近时的瞬时速度．由此，令，如果平均速度的极限存在，就把它定义为物体在时刻的瞬时速度，即==总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得：引例2平面曲线的切线斜率提问：1．什么叫做圆的切线？2．一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论）定义设点是曲线上的一个定点，在曲线上另取一点，作割线，当动点沿曲线向点移动时，

4、割线绕点旋转，设其极限位置为，则直线称为曲线在点的切线．如右图所示．设曲线的方程是，记点的横坐标为，点的横坐标为（可正可负），平行轴，设的倾角为，则的斜率为显然当点沿曲线无限趋近于点时（这时，也趋近于的倾角，这时切线的斜率综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。二、导数的定义1．导数的定义。定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处有增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数有增量如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数．记作，也可记作，或．

5、即==这时就称函数在点的导数存在，或称函数在点可导；如果极限不存在，则称函数在点不可导。2．由导数的定义求函数的导数。设函数，求该函数在处的导数的步骤：l在处给定l求增量　l算比值l取极限　例1已知函数，求。解在处给定（1）求增量（2）算比值（3）取极限因此，=23．几点说明。1）函数在点处的导数也称为函数在点处对自变量的变化率。2）当极限与存在时，分别称它们为的左导数与右导数，记为与。且存在当且仅当与都存在且相等。（利用极限存在的充要条件理解）3）函数在点处的导数，就是导函数在点处的函数值，即=。（通过例1中改变值的改变进行说明）4）如果函

6、数在，内每一点处可导，则称函数在区间，内可导．显然导数值也是的函数，我们称它为函数的导函数，今后在不会发生混淆的情况下，也简称导数．记作，，或，即=讨论：函数的导数是什么？（结论：）思考：函数的导数是什么？（结论：）拓展：函数的导数是什么？（结论：）如，等。5）如果函数在，内可导，且在点右导数存在，在点右导数存在，则称函数在闭区间，上可导。三、导数的几何意义由引例2的分析可知导数的几何意义为：函数在点的导数表示曲线在点，的切线的斜率。因此有l当函数在点处可导时，曲线在点，的切线方程为l曲线在点，的法线方程为l如果在点连续且导数为无穷大，则曲线

7、在点，的切线方程为；法线方程为例2求曲线在点(1，1)处的切线和法线方程。解因为，所以．于是曲线在点(1，1)处的切线方程为即曲线在点(1，1)处的法线方程为即四、可导与连续的关系定理　如果函数在点处可导，则在点处必连续．注：如果函数在点处连续，在点处未必可导。*例3证明函数

8、

9、在点连续，但不可导。证明　在处，

10、

11、-

12、

13、

14、

15、，因此

16、

17、=0所以函数

18、

19、在点连续。又xyo而因此不存在，所以函数

20、

21、在点不可导。注：出现尖点不可导。本堂课小结：主要内容：两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。重点：1．导数的定义；2．用导数的定义

22、求函数在某点的导数；3．导数的几何意义。难点：1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。第二节导数的基本公式与运算法则【教学内容】导数的基本公式；四则运算求导法则；