2013年校内建模竞赛题答案

《2013年校内建模竞赛题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、韶关学院第十三届数学建模竞赛题参考解答一、模具加工某工厂需要加工一批圆锥形模具，原料为半径为〃的圆形铁皮，加工工艺是从原料剪去一个角6Z，将它卷成一个无底圆锥，试问6T为何值时，加工出圆锥形模具体积最大？最大值是多少？解：设卷成的圆锥低半径为则高为77^7,当r2=—2r2时等号成立，所以Vmax=2十a。因为：360°-6^=360°-,所以6^360°-360ni=66°。a3二、隧道车速某地的一条过江隧道经常发生交通拥挤，交通事故隐患极高。为确保安全，当地交通部门规定，隧道内行驶的前后两辆汽车间的车距正比

2、于车速的平方与车身长之积，比例系数为1/1600,且最小车距不少于半个车身长。假设通过隧道的汽车车身长度一致，试问应规定车速多少，可使隧道的车流W:达到最大？解：假没车身长为/（米），车距为米），车速为v（千米/小时）。由于最小车距为Z/2,因此可知最小车距时的最高车速应该满足/v2/2"1600巾此可得最小车距时的最高车速为v=2072（千米/小时）（5分）从而可知，隧道内两辆车间的车距为因此，通过隧道的车流量为-,v<20V22.1600,v>20a/2（5分）2000v车速（米/小时）=1000V毎辆车占

3、用隧道的长度（米/辆）3Z-,v<20V21000vI1600+v,v>2072由上式可知，当最大车流量为（5分）可得〜100020000Q<=1/20I且等号成立当且仅当-（5分）对应车速v=Ii600-v可得车速为40千米/小时。即当v〉20VI时，最大的车流量为2（40）=20000为40千米/小吋。再由2000040000V2>I3/可知，应规定车速为40T•米/小时可使得通过隧道的车流量最大（5分）三、产品推销现代社会的一个特点是科学技术飞速发展，新技术新产品不断涌现。某公司利用新技术研发出了一种新产

4、品，为了推销这种新产品，公司先向社会免费赠送了K件该产品。请根据下述已知情况分别建立产品销售量F（f）的数学模型并求解：（1）该产品的销售速度与已使用该产品的人数成正比，该产品的市场容量无限（写岀模型并求解）；（2）该产品的市场容量为K。，销售速度会随市场保有量的增加而减少（写出模型即可，不需求解）。解：（1）设开始销售时刻为零时刻，则依题数学模型为ho）=y｛）（5分）其中A为比例系数，可解得Y（t）=Yoet>Q.（10分）（2）因销售速度会随市场保有量的增加而减少，故此时模型为（10分）这是伯努利微分方

5、程，其解为（结果仅供参考，不计分）：Y(t)=，r>0.四、糖果选购市场上有甲、乙两种品牌的糖果，单价分别为4元/千克，2元/千克。某人需要购买一批糖果，要求花在糖果上的钱不超过20元，总的糖果量不少于5千克，而乙牌糖果至少要和甲牌一样多但又不能多于甲牌糖果量的三倍。试问应该如何购买最好？解：假没购买甲牌糖果x千克，乙牌糖果千克，依题可建立如下数学模型minZ=4%+2y4x+2y<2Qx+y>5xy<3%（10分）使用图解法，画出付行域如卜‘由图可知，目标函数曲线Z=4x+2y移动到曲线y=3x与x+j

6、=5的交点处时可使总费用最少，解得*=5/4，），=15/4，购买赀用为12.5元。（15分〉五、寻找河岸一个人在雾天从岸边任选了一个方向沿直线向水里游去，当游了500米后，他停住了并向叫周张望，但都看不到陆地。随后他随便定Y—个方向沿直线往下游去。假定岸边是呈直线型的，并且没有受到潮汐运动的影响。问这个游泳者在再游500米之前能够到达岸边的概率。（提示：决定游泳者最后位置的变量为下图所示两个方位角：初始方位角沒和再选方位角识）游泳者鉍终位S岸也解：决定这位游泳者最后位置的变量是什么？仔细分析后不难发现，它们是

7、两个方位角：初始方位角沒和再选方位角0，易知：o

8、0<汐<兀，0<识<24;事件r的区域为:(0,(p)Q<0<^-y7T+0<(p<2;r-沒或

9、音<0

10、个勤三腳賊⑽图)。故〜=春4=25%说明：在确定游泳者回到岸边的条件时，我们是以再游50()码后游泳者到达岸边进行计算的。若从游泳者能否安全回到岸上來考虑，游泳者离岸较近或游500码以后能看到岸边都算是成功的返冋，这一可能性当然要比25%大。本题中强调“雾天”和“之前到达岸边”是使问题简化，便于确定两个方位角的范围。六、港口选择有一艘远洋货轮计划在A港U装货后驶入F港1_1，中途耑要停