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1、音乐中的数学之美摘要：本文分别从音乐的乐理、乐曲结构、和声、乐器等方而阐述了数学与音乐的联系,以及数学在音乐领域发挥的巨人作用。提出音乐与数学并非偶然地融合，而是以感性和理性的不同方式共同描述世界。关键词：律制；黄金分割；频率1引言音乐是表现心灵和情感的艺术，数学是抽象思维的结晶。有史以來，音乐和数学一直被联系在一起，相互促进，相辅相成。在中世纪，算术、儿何、天文和音乐都包括在教育课程之中，曾i度认为音乐是数学的一部分。时至今口，飞速发展的计算机和信息技术正在使数学与音乐之间的联系更加紧密。2音乐与数
2、学结合的起源最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者冇机结合起来。他们发现乐声的协调与所联系的整数Z间冇着密切的关系，拨动一根弦发出的声音取决于绷紧的弦的长度：他们还发现协和音由长度•原弦长的比为整数比的弦给出。其实被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比，山不同的整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如从一根产牛音C的弦开始，接看C的长度的16/15给岀B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给岀G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给出
3、D,C的2/1给出低音C。五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律。它根据第一、二泛音间频率比为2：3的关系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系列的五度相生，从而得到调中诸音。纯律的实际应用及乐谱记载在六批纪由我国梁代丘明传谱的《偈石调幽兰》屮己有体现,其中古琴的七弦十三徽上均己使用泛音技法。纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的儿个大三和弦确定诸咅高。肓至十六世纪我国在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和一次
4、立方的方法求出了十二次方根，这实际就是一百多年后由德国人沃克梅斯特提出的十二平均律，其频率山等比数列通项公式an=mqn-｝确定，公比^=1.05946,是2开12次方的算术根。3乐理中的数学规律在音乐的乐理方面，音程转位遵循了数学规律。对单音程而言，原音程及其转位音程的度数之和为9；在音符方面,小于全音符的诸音符rtl除法确定,如二分音符为全音符的1/2,四分音符为全音符的l/4o拍了是拍的分组，如3/4拍了是以全音符的1/4为1拍，每小节冇3拍,即3X1/43/4,而6/8拍子可认为以全音符的1/
5、8为一拍,每小节有6拍,即6X1/8二6/8,也可理解为以全音符的1/8为一拍的1/3,每小节2拍，则有2X1/8X3二6/8,即复二拍了。3/4和6/8在作为分数來看时，数值是相等的，这说明它们每小节所包含全音符的数量相同，都为0.75,但它们写法不同，则说明彼此强弱律动仍有差别。4乐曲结构与黄金分割如今在音乐的作曲方面，人们最推崇的莫过于对称和黄金分割Z美。对称的实质是一种平衡，反映在数学上就是1:1。由上下句构成的乐段，由起承转合四部分构成的作品，由四个乐章构成的交响曲，都体现了造型的対称美。而
6、黄金分割则是另一种美妙的比例关系，它反映在儿何学上，是把线段L分成两段，使其屮较长段X为全段与较短段（L-X）的比例小项,即满足等式L:x=x:(L-x)o解此方程，得到x二0.618034……倍L。由于这一比例无比美妙，古希腊人就用“黄金”为之命名。人体的双眼、双耳、双手、双足体现出对称美，而肚脐在身高的0.618处，上肢长度约为下肢长度的2/3等，均体现了黄金分割之美。而这一黃金比值频频用于音乐创作Z中，则是二十世纪后的事情了。巴托克的顶峰2作《弦乐、打击乐与钢片琴的音乐》可以说是这类作品的典范。
7、这部作品的第三乐章，总长为89小节并分为A、B、A三个部分。其中A部分与其后而的长度分别为34小节与55小节；A部分的第一主题与笫二主题长度分别为21小节打13小节；B部分的高潮两段长度为13小节与21小节；B部分与再现部的长度分别为34小节与21小节；再现部笫一、二主题的长度乂分别为13小节与8小节等等。这些各有机部分之间的小节数比分别为34:55、13:21、21:34、8:13等，均符合黄金分割的比例,而8、13、21、34、55、89等小节数数字本身,则均含于黄金分割的另一种形式——斐波那契数
8、列(即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144等，且从笫三项起每项均为前两项Z和)。这个数列前两项Z比1:1反映対称关系，而口第三项起,每相邻两项之比如2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系,且愈往后精确度愈高。由此可认为，上述乐Illi的结构明显受斐波那契数列的制约。巴托克的另一首作品《对比》笫三乐章之中的piuMosso-段，其中结束段落长为21小节，拍号称记为8+5/8,以八分音符为基本单位扌
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