2013高考数学 易错题 失分点+补救训练 数列递推关系转化

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1、失分点16　对数列的递推关系转化不当致误例16　已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an),bn＝，n∈N*，求数列{bn}的通项公式．正解　∵f(x)＝，∴an＋1＝f(an)＝，∴＝＋.∴－1＝(－1)，又bn＝，∴＝－1，∴＝·，∴bn＋1＝2bn，又b1＝＝2，∴{bn}是以2为首项，公比为2的等比数列，∴bn＝2n.补救训练16　已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，x≠0，恒有f()＝x成立，数列{an}、{bn}满足a1＝1，b1＝1，且对任意n∈N*，均有an＋1＝，bn＋1－bn＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列{an}、{bn}的通项公

2、式；(3)对于λ∈[0,1]，是否存在k∈N*，使得当n≥k时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立？若存在，试求k的最小值；若不存在，请说明理由．解　(1)令t＝，则t≠0，∵f()＝x，∴f(t)＝(t≠0)，即f(x)＝(x≠0)．(2)∵f(an)＝，∴an＋1＝＝＝，∴＝＋2，即－＝2，∴{}是以1为首项，公差为2的等差数列，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝.又bn＋1－bn＝＝2n－1，∴bn－bn－1＝2n－3，bn－1－bn－2＝2n－5，bn－2－bn－3＝2n－7，…　…b3－b2＝3，b2－b1＝1，把以上各式累加得，bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝n

3、2－2n＋1，∴bn＝n2－2n＋2.(3)对于λ∈[0,1]时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立，等价于λ∈[0,1]时，n2－2n＋2≥(1－λ)·(2n－1)恒成立，等价于λ∈[0,1]时，(2n－1)·λ＋n2－4n＋3≥0恒成立，设g(λ)＝(2n－1)λ＋n2－4n＋3≥0，对于λ∈[0,1]，(2n－1)·λ＋n2－4n＋3≥0恒成立，则有解得n≥3或n≤1.由此可见存在k∈N*，使得当n≥k时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立，其最小值为3.