中华民国第47届中小学科学展览会作品送展表

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1、中華民國第47屆中小學科學展覽會作品說明書類別：科別：數學科組別：國中組作品名稱：錙「蛛」必較關鍵詞：三角函數、等比級數編號：錙「蛛」必較摘要本專題研究，主要在探討蜘蛛織網時面積與絲長之效益問題。首先，按蜘蛛網中，經絲(軸)數之不同以及經絲夾角之變化，分別求出緯絲長度、覆蓋面積及緯絲間距，作為研究指標。同時依據幾何之三角形相似性質來尋求規律性，並應用簡易三角函數進行分析，再利用等比級數求得長度、面積總和之通式。為瞭解蜘蛛織網時是否以覆蓋面積為主要考量，我們特別定義覆長比等於覆蓋面積除以緯絲總長作為標的，分別得出幾個重要結果。最後，以

2、Excel進行試算及繪圖比較分析，驗證理論推演之正確性。壹、研究動機某天社團課時，我們在苦苦思索著科展題目，但總無靈感，恰逢當時雨過天晴，碰巧看見窗外蜘蛛網上掛滿晶瑩剔透的水珠，老師就靈機一動提議說：『我們何不來研究蜘蛛網呢？看看蜘蛛如何以有限的經絲，編出最大疆域的「網」國。』於是乎，就開始了我們的錙「蛛」必較!圖一：羅馬尼亞蜘蛛棲息圖貳、研究目的利用基礎三角函數及簡單等比級數，研究蜘蛛用緯絲圍出面積之最大效益比。1一、分兩主題：(一)各經絲均夾等角(二)各經絲夾不等角。二、每主題進行緯絲絲長、圍成面積等一連串的探討。參、研究過程一

3、、三經絲夾等角之探討(一)緯絲總長之推導如圖二所示，Dasin(θ)=asin(60−θ)=OH121sin(θ)∴a=a(1)2D1sin60(−)θ第一緯絲：AB=AH+HB11D=acos(θ)+acos(60−θ)12Dsinθcos(60−θ)=acosθ+a1D1sin(60−θ)D=acosθ+asinθcot(60−θ)11o120°a1a2AθB60°-θ第一經絲H1第二經絲圖二：三經絲夾等角圖例一2Cθ60°-θa3H3H2o120°120°a1a120°2Aθθ60°-θHB160°-θD圖三：三經絲夾等角圖例

4、二ϒcosθ+sinθcotD(2)=a1≤(60−θ)ƒDasinθ=OH=asin(60−θ)2232sinθϒsinθ∴a=a=′a(3)3D2D∞1sin(60−θ)≤sin(60−θ)ƒ如圖三所示，第二緯絲：BC=BH+HC22D=acos(θ)+acos(60−θ)23Dsinθcos(60−θ)=acosθ+a2D2sin(60−θ)sinθD=a1Dϒ≤cosθ+sinθcot(60−θƒ)(4)sin(60−θ)3asinθ=a−θ)34Dsin(6023sinθϒsinθϒsinθ∴aa===a(5)43sin(

5、60D−θ)′sin(60D−θ)∞′sin(60D−θ)∞1a2≤ƒ≤ƒD第三緯絲：CD=CH3+DH3=a3cosθ+a4cos(60−θ)23ϒsinθϒsinθ=′∞acosθ+′∞acos60(D−)θD1D1sin(60−θ)sin(60−θ)2ϒsinθDϒcosθ+sinθcot(60−θ)(6)=a1′D∞ƒsin(60−θ)由(1)、(3)、(5)式aaaasinθ234n令r=====1D=aaaasin(60−θ)123n−1代入前例之(2)、(4)、(6)式，可知D第一緯絲：AB=aϒcosθ+sinθc

6、ot(60−θ)1≤D第二緯絲：BC=arϒcosθ+sinθcot(60−θ)11≤2D第三緯絲：CD=arϒcosθ+sinθcot(60−θ)11≤#n−1D第n條緯絲=arϒcosθ+sinθcot(60−θ)11≤則n條緯絲總長=AB+BC+CD+DE+D23n−1=aϒcosθ+sinθcot(60−θ)(1+r++r++r)1≤111r1nr−14D1sinθcot(60−θ)(7)1≤ƒr1−15(二)覆蓋面積之推演11D⊗=⊗AOB=AB×=aϒcosθ+sinθcot(60−θ)asinθOH111

7、≤ƒ12212D=asinθϒcosθ+sinθcot(60−θ)1≤ƒ211D⊗=⊗BOC=BC×=arϒcosθ+sinθcot(60−θ)asinθOH2211≤ƒ222122D=arsinθϒcosθ+sinθcot(60−θ)11≤ƒ212D⊗=⊗COD=arsinθϒcosθ+sinθcot(60−θ)asinθ321≤ƒ3112D2=arsinθϒcosθ+sinθcot(60−θ)arsinθ21≤ƒ111124D=arsinθϒcosθ+sinθcot(60−θ)211≤ƒ#122(n−1)D⊗n=a1r1sin≤

8、θϒcosθ+sinθcot(60−ƒθ)212D2前二條緯絲圍成之總面積=⊗+⊗=asinθϒcosθ+sinθcot(60−θ)(1+r)122≤ƒ1112D24前三條緯絲圍成之總面積=⊗123+⊗+⊗=a≤sinθϒcosθ+s