求矩阵特点值和特点向量

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第五章求矩阵特征值与特征向量阶方阵的个特征值就是其特征方程的个根，方程属于特征值的特征向量是线性方程组的非零解。本章讨论求方阵的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。5.1幂法在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。5.1.1幂法的基本思想幂法是求实方阵按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量，然后作迭代序列，（5。1）再根据增大时，各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵的按模最大特征值及其特征向量。先看一个计算实例。例1设矩阵用特征方程容易求得的两个特征值为，下面用幂法来计算，取初始向量，计算向量序列，具体结果如表5.1所示.表5.1幂法计算结果01021/21 123151324144567411213651093401223641094考察两个相邻向量对应分量之比：,,,,，,,,,,由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰好就是矩阵的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。5.1.2幂法的计算公式为简便起见，设矩阵的几个特征值按模的大小排列如下：其相应特征向量为，并且是线性无关的，因此可作为维向量空间的一组基。任取初始向量，首先将表示为作迭代序列,则…………于是为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论。1.为实根，且21/21 当，充分大时，则有所以，（5.2）2.为实根，且，当不为0，充分大时，则有于是得所以（5.3）3．当充分大时，则有于是得21/21 若令得（5.4）式（5.4）是以为变量，以的几个分量为系数的矛盾方程组。用最小二乘法解矛盾方程组（5.4），求出，然后再解一元二次方程得到的两个根便是的近似值。再由可得和综上所述，可得（5.5）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况。若迭代向各分量单调变化，且有关系式，则属于第1种情况;若迭代向量分量变化不单调，但有关系式，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式，则属于第3种情况。21/21 5.1.3幂法的实际计算公式当时，若，则的分量会趋于无穷大；若，则的分量会趋于零。因此会使计算机出现上溢或下溢现象。为了防止溢出，可采用如下迭代公式（5.6）式（5.6）的更详细的带计算过程的计算公式为：（5.7）注：当时，按模最大特征值为正，故计算时取,当时，取。由式（5.6）知……（5.8）在式（5.8）两端同乘以，得（5.9）因为21/21 将式（5.8）、（5.9）两端分别取范数后，代入上式得所以当时，（5.10）因此当充分大时，就是按模最大的特征值的近似值。利用式（5.9）可得（5.11）另一方面，有（5.12）……将式（5.12）代入式（5.11），有从而（5.13）这说明归一化向量序列收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当充分大时，就是特征向量的近似值。21/21 5.1.4幂法的计算步骤为节省篇幅，这里仅介绍。1．输入矩阵的阶，系数，=，允许误差2．输出特征值和特征向量（）3．计算步骤1)给出迭代先导条件计算公式对应语句s=2*ep;2)用幂法求按模最大特征值及特征向量计算公式式(5.7)对应语句while(s>ep){for(j=1;j<=n;j++)x[i]=x[i]+a[i][j]*y[j];m=fabs(x[1]);p=1;for(i=2;i<=n;i++)if(fabs(x[i])>m){m=fabs(x[i]);P=i;}S=0;for(i=1;i<=n;i++)s=s+(x[i]-m*y[i]);for(i=1;i<=n;i++)y[i]=x[i]/m;}5.1.5幂法的计算实例例2用幂法求矩阵的按模最大特征值和相应的特征向量()。解取，用幂法迭代公式21/21 计算结果如表5.2所示。表5.2幂法迭代公式计算结果表01234561.00001.00001.00002.0000-2.00002.00003.0000-4.00003.00002.5000-3.50002.50002.4286-3.1286-2.42862.4167-3.41672.41672.4146-3.41462.41461.00002.00004.00003.50003.4285703.41673.41461.00000.00001.00001.0000-1.00001.00000.7500-1.00000.75000.7143-1.00000.71430.7083-1.00000.70830.7073-1.00000.70730.7071-1.00000.7071所以。事实上，矩阵的最大特征值为，其对应的特征向量。5.2逆幂法逆幂法的功能是求按模最小特征值和和特征向量。设为非奇异方阵，为的特征值，为其相应的特征向量，则的特征值为其相应的特征向量仍为。按模最大特征值的倒数则为阵按模最小特征值。5.2.1逆幂法的计算公式取，计算向量序列（5.14）它等价于（5.15）21/21 这样一来，我们可以通过反迭代过程，即通过解方程组（5.14）求得。当充分大时，则有　　(5.15)在实际计算中，为了减少运算量，可先将作三角分解然后再解两个三角形方程组就可以了，再考虑到防止数据溢出，即得逆幂法的实际迭代步骤如下：（1）对作分解（2）解方程组即解令迭代条件为5.2.2逆幂法的计算步骤逆幂法的迭代过程与幂法一样，前面已经介绍过分解法，这里不再详细叙述逆幂法的计算步骤。例1用逆幂法求矩阵按模最小特征值及相应特征向量。（精度）　　解先对作三角分解21/21 取,用逆幂法迭代公式；；　得计算结果如表5.3所示。表5.3逆幂法迭代公式计算结果0123451.0000000.2500000.5000000.9375001.1770831.1807220.0000000.5000001.3333331.5000001.7291671.7108430.0000000.7500001.1666671.2500001.2812501.2259041.0000000.7500001.3333331.5000001.7291601.7108431.0000000.3333330.3750000.6250000.6807220.0000000.6666671.0000001.0000001.0000000.0000001.0000000.8750000.8333330.7496401.0000000.3333330.3750000.6250000.6807220.5000000.8333331.8750001.3125001.3403610.3333331.5555511.6666671.7083331.634538从上表可看出，作为按模最小的特征值的近似值，作为相应的特征向量的近似值，而的按模最小的特征值的理论值为.5.2.4用逆幂法求在附近的特征值的计算公式设与最接近的特征值为，即有作矩阵，它的特征值及相应特征向量为21/21 若用逆幂法求，则有则可求得按模最小特征值和相应特征向量为于是得矩阵在附近特征值和相应特征向量为5.2.5用逆幂法求在附近的特征值的计算实例例2用逆幂法求矩阵在2.93附近的特征值及相应特征向量(精度)。解对矩阵作三角分解取,由迭代公式；；　得计算结果如表5.4所示。表5.4逆幂法的计算21/21 01230.000007.9590612.6923114.278431.000000-7.40192-12.80385-14.267631.000006.8837912.8375814.266271.0000007.9590612.8375814.266270.000001.000000.988681.000000.00000-0.93000-0.99737-0.999241.000000.864901.000000.999150.000001.000000.988681.000000.00000-0.93000-0.99737-0.999241.000001.864902.072442.07360由表5.4知，的按模最大的特征值为，即的按模最小的特征值为，所以矩阵的特征值为+2.93≈3.00036，相应的特征向量为(1,-0.99924,0.99915)T5.3实对称阵特征值的对分法首先讨论三对角对称矩阵的情形，再讨论一般对称矩阵的情形。5.3.1求实三对角阵特征值的对分法1．实对称三对角的Sturm序列设实对称三对角阵其中，用表示阶主子式，并规定则为矩阵的特征多项式，且容易验证(5.17)……21/21 称多项式序列为矩阵的Sturm序列。　　Sturm序列具有以下性质：性质1　仅有实根。性质2相邻两个多项式和无公共零点。性质3设是的根，则。　　　　性质4的根全是单根，并且的根把的根严格地隔离开来。性质5设,且是的根，则当正数足够小时，和在区间内同号,和在区间内同号。2．序列在某点的连号数序列Sturm在在时的连号数，由以下规则确定（1）若和同号，则从到有1个连号数；若符号相反，则无连号数。（2），则以的符号作为它的符号。（3）=的连号数。如：的连号数=2。3．Gerschgorin定理定义1　设，定义　　（5.18）为第个Gerschgorin盘（或称圆盘），其中为的半径。定理1（Gerschgorin定理或称圆盘定理）设，则的全部特征值都在区域内。证明当内，即对，有。所以矩阵是严格对角占优的，而严格对角占优矩阵是非奇异的，即，故z不是的特征值。换句话说，方阵21/21 的全部特征值都属于。由定理立即可得推论1矩阵的特征值满足（5.19）推论2设为实对称三对角方阵，令（5.20）则的所有特征值都属于区间。4.求实对称三对角阵的对分法定理2矩阵在区间内特征值的个数等于。证明略。例1求三对角矩阵在内特征值的个数。解首先写出的Sturm序列，，再分别计算Sturm序列在-2和0两点的连号数所以在上有个特征值。21/21 利用定理2和Gerschgorin定理，由对分法就可将矩阵的特征值进行隔离，具体步骤如下：1.求矩阵的Sturm序列；2.根据Gerschgorin定理求出的全部特征值的上界和下界；3.将区间对分，取中点，若，则矩阵在区间有个特征值，在区间内有个特征值，再分别计算及的中点，，分别计算，，继续下去，总可将分成若干个小区间，使得矩阵在每个小区间上至多有一个特征值，这样就可以将的个特征值隔离开了。4.继续对有根区间使用对分法，就可求出满足给定精度的特征值的近似值，这就是求实对称三对角方阵特征值的对分法。例2用对方法将三对角方阵的特征值进行隔离，并求出其最大特征值，使它至少有2位有效数字。解设的四个特征值的次序为，则，由圆盘定理可得特征值的上界，下界分别为即矩阵的特征值属于区间。的特征多项式序列为;（1）分别计算各点的连号数，具体结果见表5.5表5.5各点连号数的计算01234连号数1412328012+0-8-161+0-4-0161-2-08-161-412-328043210因此，区间各有的一个特征值，这样就将的特征值进行了隔离。（2）最大特征值，计算列表如下。21/21 表5.6最大特征值所在区间划分01234连号数所在区间1-35-3-111-3.58.25-14.87519.06213.256.5625-8.3280.8161-3.226.3684-7.626-0.9171001由于区间,取该区间内任意一点作为最大特征值的近似值都具有2位有效数字。5.3.2实对称阵的三对角化为了用对分法求任意实对称阵的特征值，首先需要正交变换将其化为三对角矩阵，此过程可以通过Househoulder矩阵实现.定义2设，阶Househoulder矩阵定义为：（5.21）其中为阶单位阵。显然，对任意，有因此向量以及共面。特别地，如果，且，有，于是由在上垂直于的所有向量组成的超平面H在映射下是不变的。最后，对任意因此，如果和之间的夹角用表示，则和的夹角等于。易知：是关于超平面的像。由于此原因，映射又称为Househoulder反射，或者称为镜面反射(见图5-1)。21/21 图5-1镜面反射图引理1Househoulder阵是对称且正交的。证明因为是一个正数，的对称性显然。又所以因此为正交阵。引理2设为阶Househoulder阵，则下列分块形式的矩阵（5.22）仍是Househoulder阵，其中为阶单位阵，为阶零阵。定理3设，则存在Househoulder阵，使得。证明取，取且因为，所以。又因为，故21/21 注的符号由下列原则决定：“使”，否则，在中第个分量的计算中可能出现两个相近的数作减法。Househoulder阵的形状讨论如下：令显然有，且定理4设已知向量的个分量不全为量，，则必有一个阵，使得的前个分量与向量的前个分量对应相等，而的后个分量都等于零。证明设21/21 ，令满足。由定理3知：对于向量及与其等长的不同向量，必定存在一个Househoulder阵，使得对称阵经过Househoulder变换后具有以下性质：性质1与相似。性质2为对称阵。性质3的前行与的前行相同。证明将、分别写成分块形式：;则性质4的前列与的前列相同。证明定理5设，则存在Househoulder阵,使由递推公式21/21 （5.23）得到的对称矩阵是三对角阵。证明略。例3用Househoulder变换将对称阵化为三对角阵。解，则至多通过次Househoulder变换可将对称阵化为三对角阵。第一步令,记取则所以21/21 第二步记取则所以显然，为所求对称三对角阵。用Househoulder变换将对称阵化为三对角阵算法所涉及程序设计知识较多，这里不再介绍。21/21