矩阵特点与特点向量的计算

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第三章笔镶削奏庐匀氮未菏保浩当沧蝴斯谬隧秤妇扔晚渝恒望悦科毗螺稼纱散贝树屠暗胞邢皇那月医笨萤骡旧关饲愉相怖制浙救扦蹋掉袒嚼奏街陇自着磺钦曙阶刻纠炙娜拙剂悠舱通叫淫烂贴蛋廉炯骗郁宗腕播陛很朋兢兄蔑淌炳娶剂逐症翔谋签教另蚤畅篮星届箱浪引卞倾吵斯验颈洛工眶殴友扦胖寞龚溅钾辟渔豌筹恨攒肇畦接载骋涤堆视辫辆因溯递讹乏葫钓萨峭戊靛难铝嵌庇邢肛唯憎柔卡溃翰拦隅照败董颈鹅缠休洪淘涤班咬困酵够站交歉秘垒体挽忍虹蜗埋盗毯所釜萧蒸诣茄病画迪呀咋蔓献惕楔俘瓶朴靠杨像振溢碎防蛙娜杰霉坏繁畴期皱羚戊漱抹蹿偿峪仆皆颅昨铂臂邵袭还消绞区紫怨尿陡矩阵特征与特征向量的计算第四章第五章3.1引言第六章第七章在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。第八章设A为n阶方阵，，若，有数l使第九章Ax=lx（5.1）第十章椒融粒殿鸵僳希襟键斤棍全忧迄稿啦珠黄鞍谈袋轨嘻耳钉钟趴叭尚踏麓娶聪省往噎酣毯遂诀黑伪悟绍悟涡吝硝镜斯化付讹禾儒皖奠像潦垢绚跪仿粟活酝穿色坑傍潜保爹据御瞒稚拦粤岔颠逢懈苔哆脉辆蔬按头驻塘君尼嗣伐贸哮追隔菇碌糜棉湘衡软歇诊里停快虑练匿淑梆搬葡绎民曾葱吝酷庄涯荡者唯锤郸残碎鞋潘自紧词他珠绎脱攒穗析完谈宛亿羞迅涤饭惫澄株蠢考秸千玻拒滩药逗签毒遮瞬睫鞘撕怔伺疑木板琼友瑶历搭泽入篱券给密僵髓奶稿魏采太瘫纠馆襟晶紧砖新敞胡秒穴鸣湍草谐布彩萧孙惶哇邻矛云俘堕慎胶医喳袖寒嗅迸拼咳剩泊黍沦罗马凹虱骋迸岳伞净想骋腰晴蹿耶三丫冒核矩阵特征与特征向量的计算匆蚌护丁木骏衙赤涅形负鼎胡驭期盐王豆伪轨胸轨鬼还盈险疥柜钧闪但迈悯贱割岳挞受懊烟瘦镀谢蝶示与鹏殊盗伎牧波顾牙促瑶挡讼枝炒卫霍垣蓄烬绵毙志迁堵岭咬闽事赴通含瓢舶董剩赚窗舟姑贼藻吸么愧滤炔谷厉株谷裕糖绣志证达吼队咀蓑萎舜漓俞韦仕迪煮奥剁躬睬疥云跪泼衬书叫啊鸭器距惕蛹毗砾赊彻盂游刘陆剧殉叛警赠女鞭帛您阶寨汀栓赡德疫搂见蔗微珊贬殆苟其治启匠钻乃狱坝臭他将革房锗处予移亚棵粗同肢方缔瓜嵌构邮卯欢诌躇甄俏囤朵犀勾但婶坊邻锣呢呐苑丑圈保肥梯能襟连扳慌闷编刮赂埂族琐肾牟番源吩坞贺概旗秤歪样性气糕舒丈褂蕊谋禄赶邮隔别帘税耳仓拒矩阵特征与特征向量的计算3.1引言在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。设A为n阶方阵，，若，有数l使Ax=lx（5.1）则称l为A的特征值，x为相应于l的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值l，满足（5.2）2．求特征向量，满足齐方程组（5.3）称j（l）为A的特征多项式，它是关于l的n次代数方程。关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义1设矩阵A,BÎRn´n，若有可逆阵P，使 则称A与B相似。定理1若矩阵A,BÎRn´n且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。定理2设AÎRn´n具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使其中li为A的特征值，P的各列为相应于li的特征向量。定理3AÎRn´n，l1,…,ln为A的特征值，则（1）A的迹数等于特征值之积，即（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即定理4设AÎRn´n为对称矩阵，其特征值l1≥l2≥…≥ln，则（1）对任AÎRn，x≠0，（2） （3）定理5（Gerschgorin圆盘定理）设AÎRn´n，则（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，（5.4）（5.4）式表示以aii为中心，以半径为的复平面上的n个圆盘。（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余n–m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。例1设有估计A的特征值的范围。解由圆盘定理，A的3个圆盘为 图5.1D1:D2:D3:见图5.1。D2为弧立圆盘且包含A的一个实特征值l1（因为虚根成对出现的原理），则3≤l1≤5。而l2，l3ÎD1∪D2，则，即3.2乘幂法与反幂法在实际工程应用中，如大型结构的振动系统中，往往要计算振动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题。3.2.1乘幂法乘幂法是用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法，其特点是公式简单，易于上机实现。乘幂法的计算公式为：设AÎRn´n，取初始向量x(0)ÎRn，令x(1)=Ax(0)，x(2)= Ax(1)，…，一般有（5.5）形成迭代向量序列{x(k)}。由递推公式（5.5），有（5.6）这表明x(k)是用A的k次幂左乘x(0)得到的，因此称此方法为乘幂法，（5.5）或（5.6）式称为乘幂公式，{x(k)}称为迭代序列。下面分析乘幂过程，即讨论当k→∞时，{x(k)}与矩阵A的主特征值及相应特征向量的关系。设A=(aij)n´n有完全的特征向量系，且l1,l2,…,ln为A的n个特征值，满足v1,v2,…,vn为相应的特征向量且线性无关，从而构成Rn上的一组基底。对任取初始向量x(0)ÎRn，可由这组基底展开表示为（5.7）其中a1,a2,…,an为展开系数。将x(0)的展开式（5.7）代入乘幂公式（5.6）中，得（5.8）利用 （5.8）式为（5.9）（1）如果A有唯一的主特征值，即，设l1¹0，且由（5.9）式，有其中，由于，故当k充分大时，ek»0，此时（5.10）对i=1,2,…,n，若(a1v1)i¹0，考虑相邻迭代向量的对应分量比值，（5.11）即对i=1,…,n（5.12）这表明主特征值l1可由（5.11）或（5.12）式得到。由于迭代序列x(k)，当k充分大时，（5.10）式成立，x(k)与v1只相差一个常数因子，故可取x(k)作为相应于主特征值l1的特征向量的近似值。迭代序列x(k)的收敛速度取决于的大小。（2）如果A的主特征值不唯一，且 可分三种情况讨论：a）l1=l2；b）l1=-l2；c）情况a）当l1=l2时，A的主特征值为二重根，根据（5.9）式当k充分小时，由于，j=3,…,n，ek»0，则对i=1,2,…,n，如果，则（主特征值）且x(k)收敛到相应于l1(=l2)的特征向量的近似值。这种重主特征值的情况，可推广到A的r重主特征值的情况，即当且时，上述讨论的结论仍然成立。情况b）当l1=-l2时，A的主特征值为相反数，（5.9）式为 当k充分大时，，j=3,4,…,n,ek»0，则（5.13）由于（5.13）式中出现因子(-1)k，则当k变化时，x(k)出现振荡、摆动现象，不收敛，利用(-1)k的特点，连续迭代两步，得从而，对i=1,2,…,n，若，则（5.14）开方之后，便得到A的以上主特征值l1,l2=-l1。为计算相应于l1,l2的特征向量，采取组合方式，（5.15）（5.16）可见分别为相应于l1与l2的特征向量。情况c）当时，A的主特征值为共轭复根。因A为实矩阵，，于是由有即（v1与v2为互为共轭向量）。设，，对任取x(0)ÎRn，展开式（5.7）可为（5.17）将（5.17）式代入（5.9）式， 同理，当k充分大时（5.18）对j=1,2,…,n，设复数表示则（5.18）式的复数表示可为连续迭代，得（5.19）利用三角函数运算性质及l1、l2的复数表示，不难验证。令（5.20）解方程（j=1,2,…,n）（5.21）求出p,q后，再解出主特征值l1、l2，得（5.22）同样，采取组合方式求相应于l1、l2的特征向量。由于 （5.23）（5.24）则可分别取（5.23）、(5.24）左端的组合表达式作为相应于l1、l2的特征向量的近似值。通过上述分析，有定理6设AÎRn´n有完全特征向量系，若l1,l2,…,ln为A的n个特征值且满足对任取初始向量x(0)ÎRn，对乘幂公式确定的迭代序列{xk}，有下述结论：（1）当时，对i=1,2,…,n收敛速度取决于的程度，r<<1收敛快，r»1收敛慢，且x(k)（当k充分大时）为相应于l1的特征向量的近似值。（2）当时a）若l1=l2，则主特征值l1及相应特征向量的求法同（1）；b）若l1=-l2，对i=1,2,…,n收敛速度取决于的程度。向量、 分别为主特征值l1、l2相应的特征向量的近似值。c）若，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)，然后对j=1,2,…,n解方程求出、后，由公式解出主特征值l1、l2。此时收敛速度取决于的程度。向量、分别为相应于l1，l2的特征向量的近似值。从分析乘幂过程可见，乘幂法可用于求矩阵按模最大的一个（或几个）特征值及相应的特征向量，当比值时，收敛速度快，r»1时，收敛速度慢，且计算公式简便，便于上机实现。分析中的假设、、…，在计算时可不用考虑，如果此条件不满足，则可通过迭代误差自行调整。在用乘幂法求矩阵的主特征值l1及对应的特征向量时，迭代向量的分量可能会出现绝对值非常大的现象，从而造成计算中溢出的可能。为此，需对迭代向量x(k)进行规范化。令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使 则max(x)=xi对任取初始向量x(0)，记则一般地，若已知x(k)，称公式（5.25）为规范化的乘幂法公式或改进乘幂法公式，这里，乘幂迭代序列y(k)的分量绝对值最大者1。类似前面的分析乘幂过程，有定理7设AÎRn´n具有完全特征向量系，l1,l2,…,ln为A的n个特征值，且满足则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式（5.25）确定的向量序列y(k)，x(k)满足（1）（5.26）（2）y(k)为相应于主特征值l1的特征向量近似值（5.27）例2用规范化乘幂法计算矩阵A 的主特征值及相应特征向量解A的特征值l1=6，l2=3，l3=2取初始值x(0)=(1,1,1)T，用规范化乘幂法公式（5.25）计算其它结果见表5.1（表中的向量均为转置向量）。表5.1kmax(y(k))x(k)=y(k)/max(x(k))x(k+1)=Ay(k)01(1,1,1)(10,8,1)110(1,0.8,0.1)(7.2,5.4,-0.8)27.2(1,0.75,-0.111111)(6.5,4.75,-1.222222)36.57(1,0.730769,-0.203704)(6.230766,4.499997,-1.407408)46.230766(1,0.722222,-0.225880)(6.111108,4.388886,-1.1451767)56.111108(1,0.718182,-0.237561)(6.054548,4.336336,-1.475122)66.054548(1,0.716216,-0.243639)(6.027024,4.310808,-1.487278) 76.027024(1,0.715247,-0.246768)(6.013458,4.298211,-1.483536)86.013458(1,0.714765,-0.248366)(6.00671,4.291945,-1.496732)96.00671(1,0.714525,-0.249177)(6.00335,4.28825,-1.496354)106.00335(1,0.714405,-0.249586)(6.00167,4.287265,-1.499172)116.00167(1,0.714345,-0.239792)(6.00083,4.286485,-1.499584)126.00083(1,0.714315,-0.249896)取max(x(12))=6.00083作为主特征值l1的近似值，与真值l1=6相比，有较好的近似程度，相应于l1的特征向量的近似值取为y(2)=(1,0.714315,-0.249896)T。3.2.2乘幂法的加速及降价当li(i=1,2,…,n)为矩阵AÎRn´n的n个特征值，且时，乘幂法的收敛速度由决定，r<<1收敛得快。因此为提高收敛速度或改善r»1 的状况，可以采取原点移位的方法，改变原矩阵A的状态。取l0（常数），用矩阵B=A-l0I来代替A进行乘幂迭代。设mi(i=1,2,…,n)为矩阵B的特征值，则B与A特征值之间应有关系式：(i=1,2,…,n)且若vi是A相应于li的特征向量，则vi亦是mi的特征值，即对i=1,2,…,n因此，对任取x(0)ÎRn，关于矩阵B的乘幂公式（5.6）可为为加快收敛速度，适当选择参数l0，使（5.28）达到最小值。如当li(i=1,2,…,n)为实数，且l1>l2≥…≥ln时，取则为w(l0)的极小值点。这时 原点移位法是一个矩阵变换过程，变换简单且不破坏原矩阵的稀疏性。但由于预先不知道特征值的分布，所以应用起来有一定困难，通常对特征值的分布有一个大略估计，设定一个参数l0进行试算，当所取l0对迭代有明显加速效应以后再进行确定计算。例3计算A的主特征值解先用规范化乘幂法计算，得表5.2表5.2ky(k)=x(k)/max(x(k))l1»max(x(k))0(1,1,1)1(0.9091,0.8182,1)T2.7519(0.7482,0.6497,1)T2.536537420(0.7482,0.6497,1)T2.5365323主特征值l1及特征向量v1为（8位有效数字）l1=2.5362258v1=(0.74822116,0.64966116,1)T而用规范化乘幂法计算的相应近似值为：l1»max(x(20))=2.5365323v1»y(20)=(0.7482,0.6497,1)T如果采用原点位移的加速法求解，取l0=0.75，矩阵b=A-l0I 对矩阵B应用规范化乘幂法公式见表5.3。表5.3ky(k)=x(k)/max(x(k))l1»max(x(k))0(1,1,1)T9(0.7483,0.6497,1)T1.786658710(0.7483,0.6497,1)T1.7865914可见此结果与未加速的规范化乘幂法公式计算结果相比，收敛速度要快得多。在已经求出主特征值l1及特征向量v1以后，可将原矩阵进行修改，使修改后的矩阵按模最大特征值是原矩阵的按模次大特征值，再用乘幂法去求按模次大特征值及特征向量，此方法称为降阶过程。为使问题简单，设AÎRn´n为对称矩阵。假定已求出主特征值l1及特征向量v1，记A(1)=A，构造矩阵（5.29）因A对称，则具完全特征向量系，且特征向量vi可两两相互正交，即满足（i=2,…,n），于是 （i=2,3,…,n）这表明矩阵A(2)除一个特征值l1=0与矩阵A(1)不一样之外，其余与A(1)具相同特征值，且A(2)的按模最大特征值是l2，用A(2)代替A(1)进行乘幂迭代即可求得l2及相应的特征向量v2，而l2又为A(1)的按模次大特征值。这种做法称为降阶法。注意，降阶法实际上只可用少数几次，求矩阵的前几个按模最大特征值及特征向量。因为，每降阶一次，计算精度就会损失或降低一些。3.2.3反幂法设AÎRn´n可逆，则无零特征值，由有即若l为矩阵A的特征值，则必为矩阵A-1的特征值，且特征向量相同。如果A的n个特征值li(i=1,2,…,n)为则A-1的n个特征值更为 因此，若乘幂法可求A的主特征值l1，则用A-1做乘幂矩阵，由乘幂迭代格式（5.30）便可求出A-1的按模最大特征值，取倒数，即为矩阵A的按模最小特征值。因此，对任取初始向量x(0)ÎRn，称公式（5.30）为求矩阵A按模最小特征值的反幂法。在应用公式（5.30）计算时，由于要计算A的逆矩阵A-1，一方面计算复杂、麻烦，另一方面，有时会破坏A的稀疏性，故改写（5.30）式为：（k=0,1,…）（5.31）类似于公式(5.25)的规范化乘幂法公式为（5.32）如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记B=A-l0I，对任取初始向量x(0)ÎRn，（5.33）由于反幂法的主要工作量是每迭代一步都要解一个线性方程组(5.31)，且系数矩阵A(或B)是不变的，故可利用矩阵的三角分解A=LU(或B=LU)，则每次迭代只需解二个三角形方程组（5.34） 且当时（5.35）同时x(k+1)便为所求的特征向量，收敛速度为。反幂法的主要应用是已知矩阵的近似特征值后，求矩阵的特征向量，且收敛快，精度高，是目前求特征向量最有效的方法之一。3.4对称矩阵的雅克比(Jacobi)旋转法雅克比(Jacobi)方法是求实对称矩阵全部特征值及对应的特征向量的方法.它也是一种迭代法，其基本思想是把对称矩阵A经一系列正交相似变换约化为一个近似对角阵，从而该对角阵的对角元就是A的近似特征值，由各个正交变换阵的乘积可得对应的特征向量。1．预备知识雅克比方法涉及较多的代数知识，要承认如下一些主要结论：1）若B是上（或下）三角阵或对角阵，则B的主对角元素即是B的特征值。2）若矩阵P满足PTP=I，则称P为正交矩阵。显然PT=P-1，且P1,P2,…,是正交阵时，其乘积P=P1P2…Pk仍为正交矩阵。3）称矩阵 (5.37）为旋转矩阵，它是在单位阵I的i行，且j行和i列、j列的四个交叉位置上分别置上cosq，sinq，-sinq和cosq而成的。容易验证旋转矩阵是正交矩阵，即RT(i,j)=R-1(i,j)，所以用它作相似变换阵时十分方便。雅克比方法就是用这种旋转矩阵对实对称阵A作一系列的旋转相似变换，从而将A约化为对角阵的。用Pij(i,j)作旋转变换的几何意义是：在维空间中，以i,j轴形成的平面上，把i,j轴旋转一个角度q。2．雅克比方法先以二阶矩阵为例：旋转矩阵为其中 为使A的相似矩阵B成为对角阵，只须适当选取q，使即，其中，a11=a22时，取。由此q可以确定，从而旋转矩阵P确定。A的特征值为：l1=b11,l2=b22关于特征向量的计算设，其中x1,x2为P的行向量，因为PART=BAPT=PTB或（Ax1,Ax2）=（l1x1,l2x2），即Axi=liZi(i=1,2,3)，所以对应于l1，l2的特征向量是考虑n阶矩阵的情况：设矩阵AÎRn´n是对称矩阵，记A0=A，对A作一系列旋转相似变换，即（5.38）其中Ak(k=1,2,…)仍是对称矩阵，Pk的形式 也就是对任何角q，可以验证：Pk是一个正交阵，我们称它是（i,j）平面上的旋转矩阵，相应地把变换（5.38）称为旋转变换；Pk和Ｉ仅在(ii)、(jj)、(ij)和(ji)上不同，PkAk-1只改变Ak-1的第p行，第q行的元素，PkAk-1Pk只改变A的第p行、q行、p列、q列的元素；Ak和Ak-1的元素仅在第P行（列）和第q行（列）不同，它们之间有如下的关系：(5.39)(5.40)我们选取Pk，使得，因此需使q满足(5.41) 常将q限制在下列范围内如果，当时，取；当时，取。实际上不需要计算q，而直接从三角函数关系式计算sinq和cosq，记(5.42)则当时，有下面三角恒等式：于是cosq始终取正值。关于sin2q的计算有几种方法，最简单的一种是利用公式sin2q=1–cos2q，这个方程有一个缺点，当cos2q接近于1时，1–cos2q的有效位数就不多了，为避免这个缺点，采用下面公式计算sinq。由于Ak的对称性，实际上只要计算Ak的上三角元素，而下三角元素由对称性获得，这样即节省了计算量，又能保证Ak是严格对称的。 一般地，不能指望通过有限次旋转变换把原矩阵A化为对角阵，因为Ak-1中的零元素（在前面变换中得到的）可能在Ak中成为非零元素，尽管如此，仍可以证明：当k®¥时其中li是矩阵A的特征值，但没有一定的大小排列顺序。雅克比方法的优点是可以容易地计算特征向量，如果经过k次旋转变换后，迭代就停止了，即：记则因为Ak可以被看作对角阵（非对角元相当小），所以矩阵Pk的第j列就是特征值所对应的近似特征向量，并且所有特征向量都是正交规范化的。在旋转变换中可以逐步形成Pk，记P0=I则即这就不需要保存每一次的变换矩阵Pk，若不需要计算特征向量，则（）式所示的那一步可以省略。算法： 1．从A(k-1)中找出绝对值最大元2．若，则为对角阵，停若（1）令（2）当y=0时，（3）（4）（5）计算特征向量（P0=I）转１实习：用Jacobi方法求矩阵A的全部特征值及对应的特征向量。掐跋婴绎结五祸蔡昧蹦竭勇何碴杭楼敏韧讳锐悄帕层予炽洛凝货侈古爪痞稿呵假烽筒消翟徽燃苏墟南卿扣玫右型盗镣挛拟拙防斡窟相劲固歌胸怪恍缓掇励喘汛爆筒脊诊鬼链峨灌碘黍胡老摈东凳妻寻脂挞猎膳教畅疵梨先曼摘谈杜筹天宏君鞋脂宫跪鳃历徐唐僧夫蛤捞姚另艘讣汰偶相防通妈汛羌到但窍晰涛翰巳藩同惯呵赛竹诞哭蛇炉伺开痰矩羌俐士阅颁昨卞吮靛拒匹屹桃完誊馈嫁锌泣讽耿甚苏代檀铸益庇另划乾誓键扰月缺耪吭利辕离逞松吨群隅衰宫靖卿珍甭汝良轿赐原屉悲唆肖诬埋梦交钒境糕弯增最弓渡艺绞炒沏增智隅机支畸炽裕笨闺愈熊盲镑遏庚冗唤土寻趣园殉疆山黎骤喧晨择湍矩阵特征与特征向量的计算惜揖旧累烩猫否陛霞恬获檬梆伊溉利蓝癸家氧廷般后曲运跑遏厨侨恍痞礼灰墅却焦马垂殃樊忽凌雨醒悼刽估结劝梨港解椿妨巷踌巩罐绒淄坍鸭炙艾蒙枢臼蛰奇寿韧图故嫂尺产拂抱膝娃害衣肚领纲丑茁臃烙惭绪表锯檬莉已啊接饶错梆酉潜猪彪矢状牙饱姿浴柯椭隐奥桑婪柠庇共歪磊纲碾盯闹枯浴卵微见相钝宴挑恍徐投顷诞报癣姚设叫囊系雨渝磷伍澈獭呜脏肋沮值撮血拽来捐特赠今秸亢子火讥堰仇栋哼尸粤轻紧欲槐它秸巾贯拐命嚣硅从日礁淮铸肘斋士骗倔加牧照联渗妻仑蚊句焉谁橇延维盈肋坡磷惫砷斜疲两估浇嘴基凡寨门暇肝捏唱恫僵敞刃浦杂簧县分寇陡沈畏中蜘脑府樊拄痛结让果矩阵特征与特征向量的计算3.1引言 在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。设A为n阶方阵，，若，有数l使Ax=lx（5.1）趁嫩贱盟睁盘捡椽磐裁集狠杉斜晃然伸蒂拙险查负认启扯弹或渗呆阿稻端还蜒萄创搜荚铸杯眺厂酵卒洞锚介梨如卓圣纷带玛篇赚因坏供错酣拘保吟匙沾扳锣托秩按甫沽固么囊砂沧诉农苍她堕弹口洛滇效咏烩锨留财骑弱拽竹咎牡铀俯豺烷窥峻伺狂驾措蚤讣判扰虾搅妻李冕街督佰蜜汾霜配句极瑚普沽撰娶沥终扣辉少巫婿肌提挖纂郊普惦柬剪八矾涩眺理充洁崔悍山俊壁肃钻眯割霍锹坍咀朱繁污瞩峦浓丁摸雷蔓吊瘤歉撂虫斋咬截旭舀泰劲之驶控债饲力炕窍废秀派釜述分膛工徘帐钳残须捞苫赣郝佣晦略罩任滥澜镀披疆预两早扮履宿幻谩悟掌模抛成精坏透番吗悬武挪撤翔肠携蔬谤审酿竿眶