线性代数(精品课件）

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1、一、选择题(3´15=45)1.B2.A3.D4.C5.C6.A7.D8.C9.D10.D11.D12.A13.A14.C15.B二、证一:反设,则可逆,在两边同时左(右)乘易得:,矛盾,所以.证二:因为,所以,即矩阵的所有列向量为齐次线性方程组的解,又,所以矩阵的所有列向量不全为零,即齐次线性方程组有非零解,所以.三、解:因为行列式故秩=3,所以向量组为的一个极大无关组.(用其他方法求出也行)四、解:将按第四行展开有:+2=27(a)将的第四行元素换成第二行对应元素:再将按第四行展开有:+=0(b)由(a)和(b)易求得:=-9=18第4页共

2、4页五、解:方程组的系数行列式:当时,即时,由克拉默法则知方程组(1)有唯一解;当时,所对应方程组的增广矩阵初等变换为:显然增广矩阵的秩比系数矩阵的秩多1,因而原方程组无解.(a)当时,所对应方程组的增广矩阵初等变换为:此时,增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2<3,因此方程组有无穷多解,其等价方程组为:令则所以方程组的通解为:,.第4页共4页六、解:(1)二次型的矩阵A为:(2)A的特征方程,求得A的特征值当时,求得基础解系为:当时,求得基础解系为:显然,与已经正交,将正交化得:,将分别单位化得:令,则原二次型可化为标准型:.第4页共4页七、证一:

3、由知,为矩阵的特征值的充要条件为是A的特征值.据题意有即而从而故为正定矩阵.所以对应的二次型为正定二次型.证二:设A的特征值为,由题设A是实对称矩阵,故存在正交阵使得:令则因为故所以正定.八、解:用初等行(列)变换法可得:故=.第4页共4页