最优化与最优控制讲义 第5章 离散时间系统最优控制

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1、五．离散时间系统最优控制前面几章所讨论的都是关于连续时间系统的最优控制问题。然而在现实世界中，很多实际系统本质上是时间离散的，如某些经济、能源系统。更为重要的是，即使是系统是连续的，因为计算机是基于时间和数值上都离散的数字技术的，在实行计算机控制时必须将时间离散化后作为离散系统处理。因此，本章将要讨论离散时间系统的最优控制问题。5.1离散时间系统最优控制问题的提法（1）离散系统举例考虑一个化工多级萃取过程的最优控制问题。萃取是指可以被溶解的物质在两种互不相溶的溶剂之间的转移，一般用于化学实验或化工生产中将想要提取的物质（通常含量较低）从不易分离的溶剂中转移到容易分离的溶剂（萃取剂）中。多级萃取

2、则是化工生产中提取某种价值高、含量低的物质的常用生产工艺。多级萃取过程如图5.1所示。含A的混合物以流量V进入萃取器1，此时混合物中A物质的浓度为x(0)。萃取剂以流量u(0)通过萃取器1，单位体积萃取剂带走的A物质的量为z(0)。一般萃取过程萃取物的含量均较低，所以可以认为通过萃取器1后混合物的流量不变，仍为V。流出萃取器1的混合物中A物质的浓度为x(1)。以此类推至萃取器N。u(0)u(1)u(k)u(N－1)VVVVVVV萃取器1萃取器2萃取器k萃取器Nx(0)x(1)x(2)x(k-1)x(k)x(N-1)x(N)z(0)z(1)z(k-1)z(N-1)图5.1多级萃取过程在萃取过程中

3、，对第k个萃取器有如下萃取平衡关系z(k−1)=Kx(k)(5-1-1)其中，K为萃取平衡常数。同时有物料平衡关系V[x(k-1)-x(k)]=u(k-1)z(k-1)(5-1-2)由以上关系可列出萃取物浓度方程63x(k−1)x(k)==f[x(k−1),u(k−1)](5-1-3)K1+u(k−1)V将视为x(k)状态变量，u(k)视为控制变量，则上式可作为状态方程。假定A物质的单价为α，萃取剂的单价为β，则N级萃取过程总的收益为NN−1p=∑αV[x(k−1)−x(k)]−∑βu(k)k=1k=0(5-1-4)N−1=αV[x(0)−x(N)]−∑βu(k)k=0引进性能指标NN−1pJ

4、==∑[x(k−1)−x(k)]−B∑u(k)αVk=1k=0(5-1-5)N−1N−1=∑[x(k)−x(k+1)]−B∑u(k)k=0k=0β其中B=。则该多级萃取过程寻求收益最大化问题就可以描述为一个离散最αV优控制问题，即要确定一组最优控制序列u(k)(k=0,1,…,N-1)，使性能指标J达到最大。（2）离散系统最优控制问题的提法给定离散系统状态方程x(k+1)=f[x(k),u(k),k],k=0,1,L,N−1(5-1-6)和初始状态x(0)=x(5-1-7)0nm其中x(k)∈R,u(k)∈R分别为状态向量和控制向量，f为连续可微的n维函数向量。性能指标N−1J=Φ[x(N),

5、N]+∑L[x(k),u(k),k](5-1-8)k=0离散系统的最优控制问题就是确定最优控制序列u*(0)，u*(1)，…，u*(N-1)，使性能指标J达到极小（或极大）值。将最优控制序列u*(0)，u*(1)，…，u*(N-1)依次代入状态方程，并利用初始条件x(0)=x，可以解出最优状态序列x*(1)，0x*(2)，…，x*(N)，也称为最优轨线。5.2离散Euler方程与连续系统Lagrange问题tfJ=∫L[]x(t),x&(t),tdtt0对应，相应的离散系统性能指标为64N−1N−1J=∑L[]x(k),x(k+1),k=∑L（5-2-1）kk=0k=0其中L=L[]x(k),

6、x(k+1),k是第k个采样周期内性能指标J的增量。k**假定离散性能指标J存在极小值，则式（5-2-1）存在极值解x(k)（这里x**表示极值解序列）。在x(k)，x(k+1)的邻域内x(k)，x(k+1)可表为*x(k)=x(k)+αδx(k)（5-2-2）*x(k+1)=x(k+1)+αδx(k+1)其中α为参变量，δx(k)和δx(k+1)分别是x(k)和x(k+1)的变分，代入J有N−1∑[]**J(α)=Lx(k)+αδx(k),x(k+1)+αδx(k+1),k（5-2-3）k=0由函数极值必要条件，有∂J(α)δJ==0∂αα=0可得N−1T∂LT∂Lkk∑δx

7、(k)+δx(k+1)=0（5-2-4）k=0∂x(k)∂x(k+1)由于N−1T∂LNT∂Lkk−1∑δx(k+1)=∑δx(k)k=0∂x(k+1)k=1∂x(k)k=N（5-2-5）N−1T∂LT∂Lk−1k−1=∑δx(k)+δx(k)k=0∂x(k)∂x(k)k=0（5-2-5）式称为“离散分部积分”，代入（5-2-4）有N−1T∂L[x(k),x(k+1),k]∂L[x(k−1