导数的综合应用68195

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1、提能专训(十九)　导数的综合应用一、选择题1．(2013·兰州一中12月月考)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)　　B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)D　解题思路：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)＝f(x)g(x)为奇函数，当x＜0时，h′(x)＝f′(

2、x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以h(x)在(－∞，0)为单调增函数，h(－3)＝－h(3)＝0，所以当x＜0时，h(x)＜0＝h(－3)，解得x＜－3，当x＜0时，h(x)＞0解得－3＜x＜0，由于h(x)关于原点对称，所以x＞0时h(x)＜0的x取值范围为(0,3)．故选D.2．(2013·哈尔滨第九中学第五次月考)若f(x)＝x2－2x－4lnx，不等式f′(x)＞0的解集记为p，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a＞0的解集记为q，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)A．

3、(－2，－1]B．[－2，－1]C．∅D．[－2，＋∞)D　解题思路：对于命题p：∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－＝，∴f′(x)＞0⇒∴x＞2.由p是q的充分不必要条件知，命题p的解集(2，＋∞)是命题q不等式解集的真子集，对于命题q：x2＋(a－1)x－a＞0⇔(x＋a)(x－1)＞0，当a≥－1时，解集为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，显然符合题意；当a＜－1时，解集为(－∞，1)∪(－a，＋∞)，则由题意得－2≤a＜－1.综上，实数a的取值范围是[－2，＋∞)．故选D.3．

4、(2013·哈尔滨第九中学第五次月考)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，＋＝.若数列(n∈N*)的前n项和等于，则n＝(　　)A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．4B　解题思路：由f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，得′＝＜0，即y＝＝ax为R上的减函数，所以0＜a＜1，由＋＝，得a＋a－1＝，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝.又0＜a＜1，所以a＝，故＝x，数列(n∈N*)即(n∈N*)，其前n项和为＝1－n＝，整理得n＝，

5、解得n＝6.故选B.4．(河南适应测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝e－x－ex2＋a，则函数f(x)在x＝1处的切线方程为(　　)A．x＋y＝0B．ex－y＋1－e＝0C．ex＋y－1－e＝0D．x－y＝0B　命题立意：本题考查了函数的奇偶性及函数的导数的应用，难度中等．解题思路：∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，且f(0)＝1＋a＝0，得a＝－1，设x＞0，则－x＜0，则f(x)＝－f(－x)＝－(ex－ex2－1)＝－ex＋ex2＋1

6、，则f(1)＝1，求导可得f′(x)＝－ex＋2ex，则f′(1)＝e，∴f(x)在x＝1处的切线方程y－1＝e(x－1)，即得ex－y＋1－e＝0，故选B.易错点拨：要注意函数中的隐含条件的挖掘，特别是一些变量的值及函数图象上的特殊点，避免出现遗漏性错误．5．设二次函数f(x)＝ax2－4bx＋c，对∀x∈R，恒有f(x)≥0，其导数满足f′(0)＜0，则的最大值为(　　)A.B.C．0D．1C　解题思路：本题考查基本不等式的应用．因为f(x)≥0恒成立，所以a＞0且Δ＝16b2－4ac≤0.又因为f′

7、(x)＝2ax－4b，而f′(0)＜0，所以b＞0，则＝＝2－，又因4a＋c≥2≥8b，所以≥2，故≤2－2＝0，当且仅当4a＝c，ac＝4b2，即当a＝b，c＝4b时，取到最大值，其值为0.故选C.技巧点拨：在运用均值不等式解决问题时，一定要注意“一正二定三等”，特别是要注意等号成立的条件是否满足．6．(2013·浙江瑞安质检)已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则(　　)A．h(1)＜h(

8、0)＜h(－1)B．h(1)＜h(－1)＜h(0)C．h(0)＜h(－1)＜h(1)D．h(0)＜h(1)＜h(－1)D　解题思路：本题考查函数及导函数的图象．取特殊值，令f(x)＝x2，g(x)＝x3，则h(0)＜h(1)＜h(－1)．故选D.二、填空题7．(2013·山西大学附中期中考试)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，