第五讲学面积问题与面积法

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1、第五讲面积问题与面积方法　　几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．　　下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．　　(1)三角形的面积　　(i)三角形的面积公式　　　　　b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．　　(ii)等底等高的两个三角形面积相等．　　(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．　　(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．　　(2)梯形的

2、面积：　梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．　　(3)扇形面积　其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．　　1．有关图形面积的计算和证明　　　　例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO的面积(图2-128)．　　　例3如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．　　　　例4如图2-130，通过△ABC内

3、部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．　　　　例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰　　　　2．利用面积解题　　有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．　　例6在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．

4、求证：ax+by+cz是一个常数．　　　　例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：　　　　　例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．　　练习二十二　　1．填空：　　________．　　(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．　　(3)四边形A

5、BCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．　　(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则SABCD=____．　△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．　　2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．　　3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的

6、最大值．　　4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．　　5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．　　6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：　　7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．