面积和面积法

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1、面积和面积法初中数学里很多问题都涉及到平面图形的面积计算，所用到的方法繁多，而小学到底学了哪些方法呢？这个恐怕很多初中数学教师有所不知。结果就造成了“小学和初中都不教，而在初中却要考”的尴尬局面。所以“面积和面积法”是中小学数学衔接的真空地带。于是初中数学教师一定要在合适的时候补上这一课，下面是我给学生补课的教案。一、平移现象如图，直线a∥b，点A、B在a上，C、D在b上，则△ABC和△ABD的面积相等。即平移时面积不变。依据：同底等高的两个三角形面积相等。例1 如图，正方形ABCD的边长为6，正方形BEFG的边长为4，以B为圆心AB为半径画弧，连结CF、AF，求图中阴影部分

2、的面积。解：连结AC、BF，因为AC∥BF，所以S△ABC=S△ACF，即S阴影=S扇形BAC=9π.例2  如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已有线段AB，在网格中找一格点，使得这一点和A、B两点组成的三角形面积为1，这样的点一共有        个。如图，过点C、D且垂直于CD的直线上所有格点均符合条件，故符合条件的点共有7个。例如图中的黄色部分面积就等于1，不用平移现象是很难想到的。二、同高三角形同高两个三角形的性质：如图D在△ABC的BC边上，则S△ABD:S△ADC=BD:DC。例3  如图延长△ABC的边CB、BA、AC分别至B1、A1、C1，使BB1

3、=CB、AA1=3AB、CC1=2AC，若S△ABC=a，求S△A1B1C1。解：连结A1C和C1B，∵△ABC与△A1AC是同高三角形，∴S△A1AC=3S△ABC=3a，同理S△A1C1C=2S△A1AC=2×3a=6a，S△BC1C=S△B1C1B=2S△ABC=2a，S△B1A1B=S△A1CB=a+3a=4a，∴S△A1B1C1=a+3a+6a+2a+2a+4a=18a.例4 如图，梯形ABCD中，AB平行CD，S△COD=4，S△BOC=6，S梯形ABCD。解：∵AB平行CD，∴S△ABD=S△ABC，∴S△ABD-S△AOB=S△ABC-S△AOB，即S△AOD

4、=S△BOC=6，又∵△DOC和△BOC同高，∴DO:BO=4:6=2:3，同理，△DOA和△AOB同高，∴S△AOD:S△AOB=∴DO:BO=2:3，∴S△AOB=9，∴S梯形ABCD=4+9+6+6=25.三、整体减部分有些图形的面积要用稍大一点的图形面积减去几部分小的面积来实现，这种方法叫做“整体减部分”。例5 如图，正方形网格每个小正方形的面积为1，求图中的三角形面积。解：S△ABC=2×4-1-1.5-2=3.5.例6 如图，△ABC的顶点坐标分别是，A(1,2)，B(5,1)，C(8,8)，求S△ABC.解：S△ABC=7×7-2-21-10.5=15.5.四、

5、分割图形有些图形的面积计算，要先进行分割。例7 如图正三角形ABC中，D,E,F,G,H,I分别是各边的三等分点，S△ABC=18，求六边形DEFGHI的面积.解：不难证明这个六边形是正六边形，所以连结HE、DG、IF交于一点，故正三角形被等分成6个小正三角形，S六边形DEFGHI=18÷9×6=12.例8 如图四边形ABCD中，角A=90度，AD=6，AB=8，BC=24，CD=26，求四边形ABCD的面积。解：连结BD，∵∠A=90度，AD=6，AB=8，∴BD=10，∵BC=24，CD=26，∴∠CBD=90度，∴S四边形ABCD=6×8÷2+24×10÷2=144.例

6、9 如图，有两个全等的等腰直角三角形ABC，各画出了一个内接正方形CDEF和DEFG，请比较两个正方形的大小，并说明理由。解：如图将每个图形分割，则第一个正方形占总图形的1/2，第二个正方形占总图形的4/9，所以是第一个正方形面积大。 五、补上图形某些图形求面积时，要先补上一块图形，再用整体减部分来计算。例10 如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=Rt∠，∠A=45°，AB=6，DC=4，求四边形ABCD的面积。解：延长AD及BC交于E，由已知，△ABE、△CDE均是等腰直角三角形。S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=12×62−12×42=10.例11 如图，矩形AB

7、CD中，AB=2，以B为圆心AB为半径画弧AE交BC于E，以A为圆心AE为半径画弧EF交AD于F，求绿色部分的面积.解：连AE，则S绿色部分=S扇形-S黄色部分.∵∠EAF=90°-45°=45°，∴S绿色部分=45360π(22√)2−(90360π×22−12×22)=2.六、先割后补这种方法就是先将图形进行分割，再将分割后的图形补到合适的位置，分为旋转割补、平移割补、反射割补和其它割补四种。四、五、六三种方法统称“割补法”。例12 如图，四边形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，AB=AD，四边形