培优材料之四 数列求和

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1、培优材料之四　数列求和的一些方法一、错位相减法　　可以求形如的数列的和，其中为首项为,公差为d的等差数列，为首项为公比为q的等比数列,采用两边同乘以公比，然后相减的方法.例1：求和：.二、裂项相消法适用于  其中是各项不为0的等差数列，c为常数；裂项相消法常用于三角形式的数列、部分无理数列、含阶乘的数列、等差数列的倒数求和等问题.例2.求和三、化归分组法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．例3.已知数列的通项公式,求数列的前n项和．四、配对求和法对一些特殊的数列，

2、若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求．例4.　已知，试求的值．五、逆序相加法如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为逆序相加法.例5：设,试求的值()六、利用导数求和法数列是一种特殊的函数，它有通项公式和和前n项和,有时可以把看成某个函数的导数，从而达到求和的目的.例6.利用导数求和 七、常用数列求和法有些数列可以化简成一些常用数列的和的形式，这时可以利用常用数列的前n项和公式求和．常用数列的前n项和公式．例7．

3、试求例1．解分析：该数列可以写成为一个等比数列与一个等差的积式，可以运用错位相减法求和.解：设，,,可知为首项为1公差为1的等差数列,为首项为,公比为的等比数列,利用错位相减法求和.　　两边同乘得,,两式相减得,即得.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.例2．解分析：该数列的通项=解：=例3．解：数列的奇数项依次构成首项为1、公差为12的等差数列，偶数项依次构成首项为4,公比为4的等比数列．当n为奇数时，==当n为偶数时,==．例4．解：令即而=故例6．解：∵∴令∴=通过求和的通项进行联想，合理运用逆向思维，运用导数求和的关键是抓住通项的形式结构.

4、例7．解分析：即是说原数列可以看成三个数列的和,,,利用三个数列的求和公式即可求解：原数列可以看成3个数列,,的和数列，即＝熟记常用数列的前n项和，对待求数列的通项进行适当分拆，是利用常用数列求和的方法的关键.