角的概念和弧度制

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时间:2019-07-02

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1、角的概念和弧度制一.角的概念1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,叫做角。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。射线的端点叫做角的顶点。2.角的分类:正角、负角、零角。3.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。6.终边相同的角:与角终边相同的角的集合(连同角在内),可以记为{}5.区间角:区间角是介于两个角之间的所有角,

2、如α∈{α

3、≤α≤}=[,]。4.轴线角的概念:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,若角的终边落在坐标轴上时,这个角就叫轴线角。角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴7.几种终边在特殊位置时对应角的集合为:二.弧度制1弧度角的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角。1弧度记作:1rad.用弧度作为度量角的制度,叫弧度制。(1度的角:把周角360等份,则其中1份所对的圆心角叫做1度的角。用度作为度量角的制度,叫角度制。)2.角度制与弧度制的互化:rad,rad;1弧度3.弧长公式:(是圆心角的弧度

4、数)4.扇形面积公式:已知角,(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角(2)设集合,,那么两集合的关系是什么?【思路分析】(1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角有相同终边的角,然后列出一个关于k的不等式,找出相应的整数k,代回求出所求解;(2)可对整数k的奇、偶数情况展开讨论。解:(1)所有与角有相同终边的角可表示为:则令得解得从而或代回得或(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:MN【点评与感悟】与角终边相同的角(连同角在内),可以表示为.(1)若角是第二象限角,则①是

5、哪个象限角?②是哪个象限角?(2)已知是第三象限角,则是第几象限角?【思路分析】对于(1),由a是第二象限角,可得到a角的范围,即,()进而可得到的取值范围,再根据范围确定其象限即可;对于(2),同理由a是第三象限角,可得到a角的范围,进而可得的取值范围,再根据范围确定其所在象限。此外本题也可用几何法来确定所在的象限。解:(1)①因为角a是第二象限角,所以则当k是偶数时,设则可知在第一象限;当k是奇数时,设则可知在第三象限;综上所述,角a是第二象限角,则是第一象限角或第三象限角;②因为可知角2a的终边应在第三象限或第四象限或Y轴的负半轴上.(2)解法一:因为a是第

6、三象限角,所以∴∴当k=3m(m∈Z)时,为第一象限角;当k=3m+1(m∈Z)时,为第三象限角;当k=3m+2(m∈Z)时,为第四象限角。故为第一、三、四象限角。解法二:把各象限均分3等份,再从x轴的正向的上方起。依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并依次循环一周,则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。由图可知,是第一、三、四象限角。【点评与感悟】(1)已知角a的范围或所在的象限,求所在的象限是常考题之一,一般解法有直接法和几何法,其中几何法具体操作如下:若a是第k(k取1、2、3、4之一)象限的角,利用单位圆判断是第几象限角的方法:把单位圆上每个

7、象限的圆弧n等份,并从x正半轴开始,沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4,再循环,直到填满为止,则有标号k的区域就是角终边所在的范围。如:k=2,则角是第一或二或第四象限的角。如右图中标有号码2的区域就是终边所在位置。(2)确定角所在的象限是确定函数值符号的关键,故必须掌握已知角a的范围,求与a有运算关系的角的范围。已知下列各个角:(1)其中是第三象限的角是____________(2)将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少?【思路点拨】⑴先将已知角对应化为或的形式后,再根据终边相同来判断角所在象限;⑵根据换算公式解第二问。解:(1),它是第一象限角;,

8、它是第三象限角;,它是第二象限角,,它是第三象限角;所以是第三象限的角是和(2)【点评与感悟】熟练掌握角度制与弧度制的互化公式:rad,rad;1弧度是正确换算的关键。一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,则扇形的圆心角是多少弧度?多少度?扇形的面积是多少?解:设扇形的圆心角是,因为扇形的弧长所以扇形的周长是依题意知:,解得转化为角度制为它的面积为:【点评与感悟】熟练掌握弧度制下的弧长公式,扇形公式是解答此类问题的关键。

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