共边定理典型题解析

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1、DAPB面积︰DAQB面积＝PM︰QMAAAABBBBPPPPQMMMM共边定理图：四种位置关系QQQ1如图，△ABC　中，D、E分别是AB、AC边上的中点，用面积方法证明：DE∥BC且DE＝BC．证明：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴△ADE﹕△BDE＝△ADE﹕△CDE＝1﹕1∴△BDE＝△CDE∴DE∥BC∴∠DBC＝∠ADE由共角定理得：△ADE/△ABC＝AD·DE/AB·BC＝1/4　∵AD＝AB∴DE＝BC．这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用

2、到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．ABCDEF例2：(1983年美国中学数学竞赛题)如图的三角形ABC的面积为10，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD＝2，DC＝3，若△BCE与四边形DCEF的面积相等，则这个面积是（）A．４C．５D．６B．Ｅ．不确定解：由△BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形BCEF中分别减去这两个面积，得△BFD与△BFE同底且面积相等，所以BF∥DE，可以得到AB为边的两个三角形△ABD与△ABE面积相等，因为三角形ABC

3、的面积为10，且BD＝2，DC＝3，所以△ABD的面积等于4，即△ABE面积等于4，所以△BCE的面积等于10－4＝6，故选C．ABCDO这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，由共角定理得：△AOB/△COD＝OA·OB＝OC·OD＝1即△AOB＝△COD，∴共底的两个三角形△ACB＝△CBD，∴AD∥BC；同理可证AB∥CD问：共边定理怎么证线段相等？ABCDE答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等

4、的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，求证：BD＝CE．解：由三角形面积定理得：S△ABC＝AB·CE＝AC·BD∵AB＝AC，∴BD＝CE；本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。例5：如图，已知AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，DE交AB于F点AEBCDF求证：BE＝EC．证明：连接C、F，由平行线性质，得△DFC＝△DFA；由AD平分∠BAC，DF∥AC，可得∠FAD＝

5、∠FDA，∴AF＝FD由BD⊥AD，得∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF；∴AF＝BF∴△DFB＝△DFA；△DFC＝△DFB；∴BE︰EC＝△DFC︰△DFB＝1︰1，即BE＝EC．CABDEF本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。例6：如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，求证：DF＝EF.证明：连接CD、BE，∵AB＝AC∴∠DBC与∠BCE互补，由共角三角形定理：△DBC︰△BCE＝BD·BC︰CE·BC∵AB＝AC，BD＝CE，得△DBC＝△BCE，再由共边定理得：△DBC︰△BCE＝DF︰FE

6、＝1︰1∴DF＝EF.本题先用共角三角形定理证得△DBC与△BCE面积相等，再由共边定理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。例7：在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：．ABD321QNMHGEC证明：连结CF，由，得图中两个阴影三角形的面积之比为1︰2，即：△AFC︰△AFB＝1︰2，又由，等腰直角三角形的条件，得ABCDEFF123∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，由共角定理得：AF·AC︰AB·BF＝△AFC︰△AFB＝

7、1︰2∴AF︰BF＝1︰2，由△AFB与△AEB相似，得AE︰AB＝1︰2，∵AB＝AC∴AE＝EC本题先用CD︰DB＝1︰2得到两个阴影三角形的面积之比为1︰2，再由共角三角形定理证得AF︰BF＝1︰2，过程相当简洁明了。问：共边定理怎么证比例线段？答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。只有通过一

8、定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。ABCDEF例1图例1：已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．求证：AF＝AC．解答：构造以BF为公共边的两个三角形△ABF和△DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形△ABF和△DBF、△DCF面积都相等，由图易得＝＝，所以AF＝AC．ABCDEF例2题图1142例2：△ABC中，D是BC上的一点，，E为AD上一