无穷小与无穷大、无穷小的比较

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1、2.7无穷小与无穷大、无穷小的比较都是定义2.7.1的无穷小。2.7.1无穷小与无穷大（无穷小）小量，简称无穷小。则称如果为的无穷例如，注意：不要把无穷小量与很小的量混为一谈。定理2.7.1（极限与无穷小量的关系）证明略。例如，因为是无穷小；因为无穷小运算法则时,有（1）有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.（定理2.7.2）（2）有界量与无穷小的乘积是无穷小证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.（3）有

2、限个无穷小的乘积是无穷小.例1、求解:利用定理2.7.2可知说明:y=0是的渐近线.例2.7.1解:都是定义2.7.1的无穷大。（无穷大）大量，简称无穷大。则称如果为的无穷例如，定理2.7.4（无穷小与无穷大的关系）定理2.7.5（无穷大的运算性质）若y为无穷小，且y不恒等于0，若y为无穷大，则1/y是无穷小。（1）有限个无穷大的乘积是无穷大；（2）无穷大与有界量之和是无穷大。则1/y是无穷大；都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.2.7.2无穷小的比较定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

3、是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作一些常见的等价无穷小量当sinx～xex-1～x1-cosx～x2/2arctanx～xtanx～xln(1+x)～xarcsinx～x例2.7.3证明:当时,～证:～定理2.7.6～～证:即即例如,～～故定理2.7.7设且存在,则证:例如,补例求解:例2.7.4求极限解sinx～x，1-cosx～x2/2，所以例2.7.5求极限解～～～所以等价代换只能对积商中的无穷小进行，而不能对和差中的无穷小进行。注意：