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时间:2019-08-04
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1、2.4无穷小与无穷大 无穷小的比较2.4.1无穷小2.4.2无穷大2.4.3无穷小的比较1定义1.12若函数 在自变量的某个变化过程中以零为极限,则称在该变化过程中, 为无穷小量.简称无穷小.2.4.1无穷小例如,当 时, , , 是无穷小量;当 时, 是无穷小量当 时, , 是无穷小量.我们经常用希腊字母 , , 来表示无穷小量.2注意:(1)无穷小是以零为极限的变量,常数中只有零是无穷小(2)无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的,例如:当时,为无穷小当时,就不是无穷小3定理1.2函数
2、 以为极限的充分必要条件是: 可以表示为 与一个无穷小量 之和.即其中 .4定义1.10如果(或)时,相应的函数值的绝对值 无限增大,则称 当(或)时为无穷大量无穷大量,简称无穷大.2.4.2无穷大5如果函数 当 时为无穷大,按通常意义来说,极限是不存在的,但为了便于叙述,我们也说“函数的极限是无穷大”并记为6而且,把限正值的无穷大叫做正无穷大,把限负值的无穷大叫做负无穷大,分别记为例如,(1)无穷大是个变量,不是常数(2)无穷大总和自变量的变化趋势相关联注意:7时,,时, 是无穷小例
3、1指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大?解时,,时,是无穷小时,,时,是无穷大解时,,时, 是无穷大8解时,,所以时,是无穷小时,,所以时,是正无穷大9练习一1.下列函数中哪些是无穷小?哪些是是无穷大?是无穷大是无穷小是无穷大是无穷小10是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大112.指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小时,是无穷小时,是无穷大时,是无穷小时,是无穷大12时,是无穷小时,是正无穷大1314性质1.4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量.无穷小量的性质性质1.1有限个无穷小量的代
4、数和仍然是无穷小量.性质1.2有界变量乘无穷小量仍是无穷小量.性质1.3常数乘无穷小量仍是无穷小量.15解因为 ,所以 是有界变量;例2求 .当 时, 是无穷小量.根据性质1.2,乘积 是无穷小量.即.16练习二求下列函数的极限17,,.我们记 , , ,它们都是时的无穷小量.但2.4.3无穷小的比较18, , 趋于零的情况11010010001000010.10.010.0010.000120.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.000000
5、0119定义1.14设 、 是同一变化过程中的两个无穷小量,(2)若 ( 是不等于零的常数),则称 与 是同阶无穷小量.若 ,则称与 是等价无穷小量.(1)若 ,则称 是比高阶的无穷小量.也称 是比低阶的无穷小量.20关于等价无穷小,有下面重要的性质.定理4–4设~,~,且存在,则证明:21在求极限时,利用定理,分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换,使计算简化,这种方法称为等价无穷小替换法.常用的无穷小替换有:22例4–32求极限例4–33求极限23
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