圆锥曲线部分知识梳理

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1、曲线与方程1、曲线方程的概念当且仅当以下两条同时满足时：①方程的每一组解，看成坐标，对应的点都落在曲线上；②曲线上的每一个点的坐标看成方程的解，都符合方程.才可以称方程为曲线的方程，或称曲线为方程的曲线.2、求解轨迹方程的一般步骤①建系；②设点；③列方程；④化简；⑤证明（检验）.【注】对求出的方程进行检验时，主要是依据曲线方程的概念，如涉及到三角形顶点轨迹问题，就需要挖除三点共线的情况3、求曲线方程的常用方法①直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了易于表达，那么我们只需通过化简整理便可得到曲线的方程，这种求

2、曲线方程的方法叫直接法；②定义法（或待定系数法）当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）我们可以根据定义写出动点的轨迹方程，这就是定义法；③代入法（相关点法）当形成曲线的动点，随着另一个在已知曲线上的动点有规律的运动时，我们利用这种规律就能得到，代入就能得到动点所形成的曲线方程，这就是代入法，称已知轨迹的动点为主动点，主动点坐标一般设为，称要求轨迹的动点为被动点，坐标一般设为；④交轨法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法

3、经常与参数法并用.⑤参数法当我们很难找到形成曲线的动点的坐标所满足的关系式，这时我们往往要借助第三个变量，建立与，与的关系式，在通过一些条件消掉，就间接的找到了所满足的方程，从而求出动点所形成的曲线方程，这就是参数法.【注】在消参的过程中需注意等价性原则.圆与方程1、圆的概念（1）平面内到定点的距离等于定长（非零）的点的轨迹为圆，定点为圆心，定长为半径.（2）平面内，到两定点的距离之比为常数（，且）的点的轨迹称为圆.此结论最早由古希腊的数学家阿波罗尼斯发现，故又叫做阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆.2、圆的标准方程称方程为圆的标准方程，圆心坐标，半径.3

4、、圆的一般式方程（1）表示圆的方程的充要条件.（2）表示圆.4、点与圆的位置关系点与圆的位置关系：(1)点在圆内；(2)点在圆上；(3)点在圆外.5、直线与圆的位置关系直线：不全为0），圆：，圆心到直线的距离为，，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交.（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于（或关于）的一元二次方程，设其判别式为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交.6、直线被圆截得弦长的求法（1）几何法：弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形，计算弦长=.（2）代数法：用

5、一般的弦长公式：（为消元后得到的二次方程的二次项系数）.=7、圆的切线的求解类型一：过圆上的点作圆的切线（切线唯一）1、圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程为.2、圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程为：类型二：过圆外一点作圆的切线（切线必有两条）圆的方程是，经过圆外一点的切线的方程求解方法：第一步：设切线的点斜式方程：，即：第二步：利用圆心到直线的距离等于半径，列方程：求出斜率（）第三步：若求出的斜率只有唯一的值，则另外一条切线方程必为：；若求出的斜率有两个值，则直接代入切线方程的点斜式即可，最后将切线方程化为一般式.【注】也可以设出点法向式，这

6、样即可一次性求解出两组解.8、过圆外一点作圆的切线，连接两个切点的直线方程的求解类型一：圆的方程是，经过圆外一点作圆的切线，连接两个切点的直线方程为：.类型二：圆的方程是，经过圆外一点作圆的切线，连接两个切点的直线的方程为：.9、圆上的动点到定点的距离的最大值与最小值：定点，圆的方程：第一步：判断定点在圆内还是圆外；第二步：计算原点到该定点的距离；第三步：定点在圆外，则；点在圆内，则10、圆上的动点到定直线的距离的最大值与最小值定直线，圆的方程：；第一步：判断直线与圆的位置关系，相切，相交，还是相离；第二步：计算圆心到直线的距离，公式：；第三步：若

7、相离，则；相交或是相切：.11、圆的参数方程的参数方程为，其中，借助圆的参数方程，可以设圆上任意一点的坐标为，可以简化一些与圆上动点相关的最值问题的运算.12、圆系方程过圆：与圆：交点的圆系方程为：（、不同时为0，且）【注】当时上述方程:表示两圆公共弦所在的直线方程.椭圆与方程1、椭圆的定义（1）平面内，到两定点、的距离之和为定长的点的轨迹称为椭圆，其中两定点、称为椭圆的焦点，定长称为椭圆的长轴长，线段的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为椭圆，其中定点称为椭圆的焦点，定直线称为

8、椭圆的准线，定值称为椭圆的离心率.此定义为椭圆的第二定义.2、椭圆的简单性质标准方程顶点坐标、、焦点坐标左焦点，右焦点上焦