圆周角概念及定理 (2)

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1、教学目标  1、 理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算.  2、 经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法.3、 通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值.教学重点难点    教学重点 圆周角的概念、圆周角定理及其应用.    教学难点 圆周角定理的分类证明.教学过程一、情境导入足球场上的数学  在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时，同伴乙已经冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.问哪一种射门

2、方式进球的可能性大？(提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好.)设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣.二、自我探究1、圆周角的概念   观察图形　∠APB的顶点P从圆心O移动到圆周上（电脑动画）.教师指出∠APB是圆周角.由圆心角顺利迁移到圆周角.  学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角.   辨析概念 　判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.    思考特征 圆周角具有什么特征？明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。2、合作交流，

3、动手操作  学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果.教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：①  圆心在圆周角的一边上；②  圆心在圆周角的内部；③  圆心在圆周角的外部.设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度.3、实验探究   探究问题 同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？   试验操作学生利用手中学案，当圆心角分别是锐角（

4、450）、钝角（1100）和平角（1800）时，动手测量出弧BC所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧BAC上任意取一点E，测量∠BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.    猜想结论 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.    电脑验证 教师改变圆心角∠BOC的度数，再通过电脑测量弧AB所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，进一步验证学生的猜想.设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系.4、证明定理   命题分析  命题：（电脑显示）同

5、弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.学生说出已知、求证.  问题：圆心与圆周角的三种位置关系中，哪一种位置关系最特殊？此时你能不能证明∠A=∠BOC？三种情况：第一种情况：圆心在圆周角一边上； 定理证明  学生证明第一种情形（圆心在圆周角的一边上的情形）：作直径AD.∵OA＝OC   ∴ ∠A＝∠C又∵∠BOC＝∠A＋∠C∴ ∠BOC＝2∠A即∠A＝∠BOC   从而得到圆周角定理：圆周角定理  在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步，由学生分析出，当圆心角是180°时，圆周角为90°，再通过电脑动画展示，当圆心角逐渐

6、变为180°时，对应的圆周角变为90°，从而得到圆周角定理的推论：圆周角定理推论  半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感. 三、应用巩固   例1如图，如果∠A=60°，则∠BOD=____°，∠BDC=____°例2如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是一定相等的角？拓展若∠1=∠2=60°，判断△BCD的形状并证明你的结论.设计意图：及时巩固本节课所学的核心知识，并注重知识的延伸，

7、拓宽学生思维的深度和广度.四、解决问题：解决问题情境中的足球问题：过点P 、B、Q三点作圆，建立相应数学模型，学生分析题意，给出问题的答案：解法1：连结PD.∵∠B=∠PDQ,∠PDQ>∠A∴∠B>∠A∴将球传给乙,让乙射门好.解法2：连结CQ.∵∠B=∠PCQ,∠PCQ>∠A∴∠B>∠A∴将球传给乙,让乙射门好.设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题.五、总结拓展1．本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论.2．本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想.设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。六、作业巩固