大一高数总结上册

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1、第一章函数.极限.连续(小结)函数1.邻域：U(a),U(a)以d为中心的任何开区间；冗2.定义域：y=tanx{xH£龙+—};y=cotx{x^kn};2Jl717171y=arctanx{xeR.y；y=arcsinx{xe[-l?l]9ye[-—,—]}厶厶厶厶y=arccosx{xe[-l,l],ye[0,^]}.二、极限1.极限定义：(了解)limxn=au>若对于>0,BNeZ+,st.当n>N时，有xn-a<£;"TOONote:xn-a?limf(兀)=AoVg〉0933>09st.XT%当0

2、.f(x)-A

3、

4、f(x)-A

5、<x-xQV^>0,3X>0,st.当x>X时，有

6、.f(x)—As;X-»ooNote:

7、f(x)-A<£—>x>?2.函数极限的计算(掌握)(1)定理：limf(x)=A<^/(x0)=f(x；)=limf(x)=A;(分段函数)X—>必XTXq(2)-型：①约公因子，有理化；比如：1曲匚勺，02丘一1ax2+x-2■②重要极限lim—2°Xlimw(x)->0sinu(x)"(x)=1；③等价无穷小因式代换：tanxx.sinxx,arcsinxx,1-cosx〜寺F,妙1+x—1〜+兀

8、，e'—1〜兀，ln(l+兀)〜兀00-00型：先通分；I2比如：lime-x-x2"型：转化为无穷小；比如：lim5+100Xfg兀.+兀_21"型：重要极限lim(14-兀)匚=lim^(l+w(x))«u)=e；(3)无穷小・:无穷小•无穷小二无穷小；无穷小•有界量二无穷小比如：lim史竺YT82x(4)函数极限与无穷小的关系:limf(x)=Aof(x)=A+a,其中：lima=0(抽象函数)X—>X0XTXq(5)微分中值定理：广(g);b-a比：Hmarctanx-arctan1(第3章)x->l•x-l(6)罗必达法则：臥需=咄册co00丿比如：

9、limtan-V~V(第3章)2°x'sinx2.数列极限的计算:1i厶2*1朋*2i夹逼原贝IJ:lim/1+,1+…1八积分定义：lim-Vin/=11+—Vl+xdx；limg"=0(

10、q

11、v1)；lim丽=1.(第五章)fj〃一>0071—>三、连续1.函数在点兀o处连续:lim/(x)=/(x0).一切初等函数在其定义域都是连续的.2.闭区间上函数连续的性质:最大最小值定理：若/(兀)在［a,b］上连续，则/(劝在［a,b］上一定有最大、最小值.零点定理：设f(x)eC［a9h］，且/⑷J(b)vO,n至少有一点gw(a,b)，使得/(^)=0介值

12、定理：设f(x)eC［a,b］,且f(a)=A,f(b)=B,AwB=＞则对之间的任意常数C，至少有一点，使得.f(g)=C.四、间断点1.第一类间断点：/«)./«)存在2/9若/(x0-)=/(对)工/(x0),则称兀0为可去间断点；若/(吋)工/(x0+),则称兀。为跳跃间断点；2.第二类间断点：/(x0-)./(x0+)至少一个不存在若其中一个趋向a,则称兀。为无穷间断点；若其中一个为振荡，则称勺为振荡间断点；第二章导数与微分(小结)一、导数的概念1./U)=lim^=lim/(勺+从)一/牝)=lim/(xo+/?)-/(xo)axtoaxztoAx"t

13、°h/(兀+力)一/(兀)Note:①该定义主要用于相关定理的分析与证明;②导函数求导公式：fx)=lim/i->02.分段函数在分段点处可导性判别:定理：/(X)在X。处可导O/(X)在X。处即左可导,又右可导lim/(x)7(")X-XQ广仇)=応/⑴一g).XT旳-X-XQ3.导数的几何意义：切线斜率，即k=f(x.)当广(Xo)Hoo时，曲线在点(兀0，儿)处的切线、法线方程为：切线方程：y-yQ=f(xQ)(x-x0);法线方程：y-y017u)二、导数的运算1.四则运算:[w(x)±v(x)]=u'(x0)±v/(x0);[u(x)v(x)]'=uz

14、(x)v(x)-I-u(x)v'(x);巩兀)Mz(x)v(x)-u(x)vx)1.反函数求导：y=f(x),x=(p(y)互为反函数，则广(x)=—3.复合函数求导dv：y*[*)],则右伽艸).4.隐函数求导：F(x,y)=O两边关于兀求导，把y看成是x的函数.5•参数方程：则空=◎.虫=©/么=止Iy=y(t),dxdtdxdt/dtx(t)三、微分1.微分的概念喏有Ay=f(xQ+Ax)-/(x0)=Ax^ro(x)成立，记作：dy=AAxNote:dy=Ax=Adx=ff(x)dx,y=f(x),dy=ff(x)dx2.微分在近似计算中的应用(1

15、)近似计算