浅谈小波分析

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1、浅谈小波分析摘耍：小波分析已成为当代最重要的数学工具之一。本文简耍叙述了小波的由来和发展过程，并且阐述了本人对小波的理解，以及进行了小波分析与傅里叶分析之间的比较，最后对小波发展进行一些展望。关键字：小波变换；傅里叶变换；0.引言当代社会时信息社会，诸多领域都会涉及到信号处理的问题。长期以来，傅里叶变换一直是信号处理最垂耍的工具，并目己经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是，傅里叶变换分析方法存在着一定的局限性与弱点，傅里叶变换虽然提供了信号在频率域上的详细特征，却把吋间域上的特征完全丢失了。而在实际中，瞬变信号(非平稳信号)大量存在，对这一类

2、信号进行处理分析，通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频域段所对应的时间信息。小波变换不仅继承和发展了傅里叶变换的一些思想和理论，也克服了其缺点，是一种比较理想的信号处理的数学工具。小波变换作为信号处理的一种手段，被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传统的处理方法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法，具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。小波分析虽然已形成了一门独立的学科，但傅里叶分析的方法、理论和命题,是小波分析理论中不可缺少的部分。前文已指出傅里叶分析是频谱分析，而小波分析是频带分析，

3、二者具有互补的作用。尽管小波分析具有种种优越性，但对某些信号，傅里叶分析还是适用的、方便的。小波分析是对傅里叶分析的发展，而傅里叶分析是对小波分析的支撑。它们同是信号分析中的方法。小波理论的进一步发展仍然离不开傅里叶分析的理论和方法。1.小波理论的来源傅里叶分析是一种频谱分析，它能清楚揭示信号/⑴的频谱结构，因此在信号分析中长期占据着突出的地位。但是它也存在着不可避免的缺点，即傅里叶系数是信号/⑴在整个时间域上的加权平均。要想用它们的系数来反映信号/(/)在时间域上的局部性质是不可能的，而信号的同部性质无论是在理论研究方面，还是在实际应用方面都是十分重要的。长期以来，

4、数学家与工程师在努力寻找函数空间Z?(R)的一种函数基，使得这种函数基既能保持指数函数基的优点，又能弥补指数函数基的不足，并且希望这种函数基是Ft!某个具有光滑性、紧支撑性和较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的函数族。现在称这种函数基为小波基，对它的存在性、构造和性质的研究便构成小波分析研究的内容。1.1傅里叶分析及其不足自1822年Fourier发表他的热传导解析理论以来，分析便成为最完美的数学理论和最广泛被应用着的数学方法之一。但是直到1965年，美国贝尔实验室的Cooley和Tukey两位工程师综合前人的研究成果，在大量模拟的基础上，提出了影响深远的快速傅里

5、叶变换，即FFT。从此，傅里叶分析方法真正走向实践，成为人家钟爱的一种数学工具。很难发现一门自然科学或工程技术与傅里叶分析没有联系。傅里叶变换简洁的数学表达式，使人感受到一种美感。傅里叶变换定义了“频率''的概念，用它可以分析信号能量在各个频率成分中的分布情况。对信号/(r)eL2(A),其傅里叶变换为:尽管傅里叶分析法有种种优点，但其自身也有不足之处：⑴为了用式⑴从模拟信号/(r)+捉取频谱信息FQ),耍取无限的时间量，而使用过去和将来的信号信息只为计算单个频率血的频谱；(2)式(1)没有反映出随吋间变化的频率，实际上，我们需耍确定吋间间隔，使得在任何希望的频带上产

6、生频谱信息；(3)在/?(&以外空间，变换系数不能刻画信号/⑴或它的频谱尸⑹)所在的空(4)分析高频信息需耍相对小的吋间间隔以给岀较好的精度，而分析低频信息，则需耍相对宽的时间间隔以给出完全的信息，即需耍一个可变得吋间■频率窗口，使其在高频时自动变窄，而在低频吋自动变宽。但是傅里叶变换无法提供一个灵活可变的时■频窗，所以它无法完成局部分析。1.2小波分析发展的基本过程小波分析就是为了克服傅里叶分析的这些不足而发展起来的。从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段：第一阶段：小波分析思想的萌芽及孤立应用吋期，主耍特征是一些特姝构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的

7、应用。其思想起源可以追溯到本世纪初，1910年A.H逊利用伸缩平移思想构造了第一个规范正交小波基，即Haar系。1938年，Littlewoods和Paley提出了按二进制频率成分分组的理论，这便成为多尺度分析的思想雏形。70年代是小波分析发展的关键吋期，Calderon表示定理和Hardy空间的原子分解及无条件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的准备。这个时期最具代表性的工作是，法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossman第一次把“小波"用来分析地震数据，并提出了小波分析的概念。计算机视觉专家D.Mair在他的“零交差"理论中使用了