专题4.3热点题型二导数与定积分-2017年高考数学（理）热点+题型全突破

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1、热点题型二导数与定积分【知识梳理】1、相关术语：对于定积分］/(兀)必(1)a,b:称为积分上下限，其中a>b(2)f［x):称为被积函数(3)cZx：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：^(x2+tx)cbc中的被积函数为/(x)=x2而J"(F+肚”/的被积函数为/(r)=xr+x22、定积分f/(x)必的几何意义：表示函数/(兀)与兀轴，x=a,x=h^成的面积(兀轴上方部分为正，兀轴下方部分为负)和，所以只有当/(兀)图像在完全位于兀轴上方时，必才表示面积。『

2、/(牙)

3、心可表示数/(兀)与兀轴，x=a,x=b围成的面积的总和，但是在求

4、定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定枳分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：(1)微积分基本定理：如果/(兀)是区间［a,切上的连续函数，并且F'(x)=/(%),那么仏)心F(me)-F(a)使用微积分基本定理，关键是能够找到以/(x)为导函数的原函数F(x)o所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：f(兀)=0fx)=axa~"/(jr)=sinxf(x)=cosx/(x)=cosjtf(x)=-sinA：f(^=axf(x)=axa/(x)=R•fx)=exf(x)=ogax/(x)-xaf(x)=xf(心X①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导

5、函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：/(x)=x3,则判断属于幕函数类型，原函数应含但(兀4)=4/,而/(x)=x3,所以原函数为F(x)=-x4+C(C为常数)②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C,例如/(x)=2x,则F(x)=x2+C,但在使用微积分基本定理时，会发现F{b)-F{a)计算时会消去C,所以求定积分时，尸(兀)不需加上常数。(2)利用定积分的儿何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设f/(兀

6、)力J：g(x)必存在(1)jkf[x)dx=k^f[x)dx作用：求定积分吋可将/(兀)的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化/(兀)的复杂程度(2)f[/(x)土g(%)]必=[/(兀)力±fg(x)必作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如『(F+兀+1”兀=f『xdx+『1张(3)jf^x)dx=^/(x)tZr4-jf[x)dx，其a

7、)为奇函数，则J/(%)6tx=0(€Z>0)(2)若/(兀)为偶函数，则[丿(兀宓=[/(尤)必(d>0)6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：(1)通过作图确定所求面积的区域(2)确定围成区域中上，下曲线对应的函数/(%),g(兀)(3)若XG[a.b]时，始终有/(x)ng(x),贝I」该处面积为(兀)-g(x)M7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况(1)构成曲面梯形的函数发生变化(2)构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数-下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生

8、过变化，则也需将两部分分开來写。【典例1】【2015天津理11】曲线y=F与直线歹=兀所围成的封闭图形的面积为导致水渠截面边界呈抛物【腆例2】［2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积,线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为【典例3】已知函数/（x）=a.g12f(x+l)2,-l

9、V2x=t2•由曲线49（f为参数）和y=x+2围成的封闭图形的面积等于y=rx2,xg[0,1]3.设/•(%)=i(其中€为自然对数的底数)，则y=f(x)的图像与x=0,x=e以及兀轴所围一，兀w(l,qlx成的图形的面积为4.已知函数/(x)=x3+ax2+Z?x(6z,/?GR)的图彖如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图屮阴影部分)的面积为〒则。的值为5.已知函数/(兀)=占一1,直线ll:x=ij2:y=et(