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《专题4.2热点题型一导数的几何意义-2017年高考数学（理）热点+题型全突破》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、热点题型一导数的几何意义【知识梳理】导数的几何意义函数y=f（x）在点兀。处的导数的几何意义是线y=f（x）在点P（x0,/（x0））处的切线的斜率.也就是说，曲线y=f（x）在点P（xo,/（xo））处的切线的斜率是/©（））•相应地，切线方程为丁-/（兀0）=广（兀0）（兀-兀0）・（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。（1）此为切线的确切定义，一方而在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方而也可理解为一个动态的过程，让
2、切点A附近的点向4不断接近，当与A距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数來判定。例如函数歹=扌在（-1,-1）处的切线，与曲线有两个公共点。（3）在定义中，点B不断接近A包含两个方向，A点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB的极限位査唯一时，这个极限位置才能够成为在点A处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y二卜
3、在（0,0）处，通过观察图像可知，当x=0左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=-x,而当x=
4、0右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=两个不同的方向极限位置不相同，故y=忖在（0,0）处不含切线（4）由于点B沿函数曲线不断向4接近，所以若/（兀）在人处有切线，那么必须在A点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数y=/（x）±点A（XoJ（兀°）），/（兀）在A附近有定义且附近的点B（x0+心,/（兀+Ar）），则割线AB斜率为：k二/（兀。+山）一/（兀。）二/（心+心）一/（兀（））八"（兀（）+心）一兀（）Ax当B无限接近A时，即心接近于零，.••直线AB到达极限位置时的斜率表示为:"lin
5、/比+心)7(<>,mt()Ar即切线斜率，由导数定义町知：£=lim~=/(x())o故/(兀0)为/(兀)在山toArA(x0,/(x0))处切线的斜率。这是导数的几何意义。3、从导数的儿何意义屮可通过数形结合解释儿类不含导数的点：(1)函数的边界点：此类点左侧(或右侧)的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数(2)已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例了y二卜
6、在(0,0)处
7、不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向己知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可(3)若在已知点处存在切线，但切线垂在兀轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：y=^x在(0,0)处不可导综上所述：(1)-(3)所谈的点均不存在导数，而(1)(2)所谈的点不存在切线，(3)中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数。【典例1】［2016高考新课标2理数】若直线y=kx^b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，则/?=.【典例2】【2
8、014新课标，理8】设曲线ypxTn(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y二2x,则圧()A.0B.1C.2D.3f-lnx,O1,切线，厶与厶垂直相交于点只且厶,厶分别与y轴相交于点4则△丹矽的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(1,+8)【典例4】已知函数/(x)=lnx+2x,则:(1)在曲线/(对上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x-y-2=0平行(2)在III］线/
9、(兀)上是否存在一点，在该点处的切线与直线x-j'-3=0垂直【典例5】已知曲线C:x2=y，点P在抛物线上且P的横坐标为1,过P作斜率为k(kwO)的直线交C于另一点Q，交兀轴于M,过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数使得直线MN打曲线C相切？若存在，求的值，若不存在，说明理由。【方法总结】1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求岀切线的斜率(切点导数)与切点，在利用点斜式写出肓线方程2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A的横坐标兀0,因为心可“一点两代”，代
10、入到原函数，即可得到切点的纵处标/(x0),代入到导函数中可得到切线的斜率f(x0)=k,从而一点一斜率,切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。3、求切线的问题主要分为两人类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数屮求出切点与斜率即可
