向量沟通了几何与代数之间的联系,为解决和处理中学数学

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1、向量沟通了几何与代数之间的联系，为解决和处理中学数学屮的问题，增添了新的方法，如利用平面向量来解决函数的值域、，角问题、不等式问题等都能取到意想不到的效果。空间向量是解立体几何问题的利器，它在-定程度上弥补和回避了学生空间想象能力的欠缺和作图的困难，它可以使儿何问题中逻辑推理转化为向量的代数运算，使问题的解决显得更简洁和清晰。数学家华逻庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难少微。”数形结合，直观入微，而向量法正是数形结合的产物。本文结合这几年来的高考题及教学经验，谈谈在夹角和距离问题的向量法的应用。1空间角问题空间的角求主要有：异面直线所成的角；直线和平面所

2、成的角；二而角.(1)求异面直线所成的角°设2、乙分别为异面直线a、b的方向向量，则两异面盲线所成的角a-arccosI(2)求线面角设7是斜线1的方向向量，7是平面Q的法向量,则斜线1与平面&所成的角a=arcsinI(3)求二面角法一、在a内方丄/,在0内乙丄其方向如图，则二面角a—I一0的平面角a=arccosf2laIIbl法二、设面的法向量,外侧，则二而Hl",是二面角的两个半平其方向一个指向内侧，另一个指向・•I•角q_/_0的平面角a=arccos122求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的

3、距离、线而距离；而而距离都可化为点而距离来求.(1)求点面距离法一、设久是平面°的法向量，在a内取一点B,则A到a的距离d=1MIIcosO1=今"InI法二、设A0丄a于0,利用A0丄a和点0在Q内的向量表示，可确定点0的位置，从而求出1花1・(2)求异面直线的距离法一、找平面0使bu0且a0,则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面0的距离，又转化为点A到平而0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设°、乙分别Ba为异面直线a、b的方向向量，求并(«丄二n丄乙)，则异面直线a.b的距离心杯咖罟(此方法移植于点面距离的求法).例1・如图，在棱长为

4、2的正方休ABCD-中，E、F診分别是棱的中点.(I)求异面直线DE与FC、所成的角;(II)求g和面EFBD所成的角;(III)求血到面EFBD的距离解：(I)记异面直线皿与FG所成的角为a,则Q等于向量旋与疋的夹角或其补角,IDEFC-/•cosa=1——IIPEIFCiI=1("+便)(码+昭)

5、-丨旋丨丨疋丨-222=1—7=~1=—oc—arccos—a/5a/555(II)如图建立空间坐标系D-xyz,贝旋=(1,0,2),丽=(2,2,0)B设面EFBD的法向量为n=(x,y,l)由D£n=O丽4=0得n=(-2,2,1)乂西=(一2,0,2

6、)记叫和面EFBD所成的角为&・•・和面EFBD所成的角为彳.(III)点色到面EFBD的距离d等于向量丽;在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，InI3设计说明：1.作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体疋方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求).3.完成这3道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决，向

7、量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.例2・如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的止方形，四边形/・AAfBfB是矩形，平面人丄平W1ABCD.Lab，(II)试问：当AV的长度为多少时，二面角(I)若血1,求直线AB到面D4'C的距离.D-A'C-A的大小为6(T?解：(I)如图建立空间坐标系A-兀)—则D4'=(—l,l,a)5C=(0,1,0)设面DAC的法向量为斤=(x,”1)贝[DC-n.=0得q=(a,0,l)直线AB到面DA'C的距离d就等于点A到面DA'C的距离，也等于向量丽在面/UC的法向量上的投影的绝对值，,ADnA72・•.d=—

8、-=——丨®丨2(II)易得面AAC的法向量石=(丄，-丄,0)-22向量兀，石的夹角为601_由cos〈q”〉=3乜=尸=—得a=1一皿吋耐迈22・•・当A4=l时，二面角D-A'C-A的大小为60。・设计说明：1・通过(I),复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量(法向量)投影的绝对值的解题思路与方法.2.通过(II),复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况.例3.正三棱柱4BC-ABC的所有棱长均为2,P是侧棱側上任意一点.(I)求证：直线肘不可能与平面acga垂直;(II)当丄时

9、，求二面角C_BP_C的大小.证明：(I)如图建