2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理(含解析) (III)

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2019-2020学年高二数学下学期期中试题理(含解析)(III)一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1.已知复数z满足，那么的虚部为（）A.1B.-iC.D.i【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部.【详解】因为，所以虚部为1，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.2.函数在点（1,1）处的切线方程为：（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程.【详解】因为，所以，切线方程为，即，故选D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.3.定积分的值等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据定积分的含义，只需求出曲线在上与x轴围成扇形的面积即可.【详解】由得，根据定积分的意义可知，扇形的面积即为所求.故选B.【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义及圆的方程面积问题，属于中档题.4.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人 B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D.在数列中，，，由此归纳出的通项公式【答案】C【解析】【分析】演绎推理是由一般到特殊，所以可知选项.【详解】因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以对角线互相平分.【点睛】本题主要考查了推理中演绎推理的概念，属于容易题.5.曲线与坐标轴所围成图形面积是（ ）A.4B.2C.D.3【答案】D【解析】【分析】根据定积分的意义，曲线与坐标轴所围成面积可转化为求在上的定积分与在上的定积分值的差即可.【详解】根据定积分的意义可知，，故选D.【点睛】本题主要考查了定积分的意义及定积分的运算，属于中档题.利用定积分解决面积问题时，要注意面积与定积分值的关系，当曲线在x轴下方时，定积分值的绝对值才是曲线围成的面积.6.函数的单调递减区间是()A.B.C.D.和【答案】C【解析】【分析】求函数的单调递减区间，需要求函数导数在定义域上小于零的解集即可.【详解】因为，令解得，所以选C.【点睛】本题主要考查了导数及利用导数求函数的单调区间，属于中档题.解决此类问题时，要特别注意函数的定义域，通过解不等式寻求函数单调区间时要注意定义域的限制. 7.函数的图象可能是（）【答案】A【解析】试题分析：因为，所以为奇函数，故排除B、D；当时，，故排除C，故选A．考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性．8.设已知函数，下列结论中错误的是（）A.B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则【答案】C【解析】因为所以由零点存在定理得因为,所以函数的图象是中心对称图形若是的极小值点，则在区间若是的极值点，则,因此C错,选C.9.在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前100个圈中的●的个数是()A.12B.13C.14D.15【答案】A【解析】试题分析：由图像可得图像所示的圈可以用首项为2，公差为1的等差数列表示，前120个圈中的●的个数即为，，解得， 前120个圈中的●有个，故选D．考点：等差数列的定义及性质；等差数列前n项和公式.10.已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（）A.12，26B.24，26C.12，0D.6，8【答案】A【解析】【分析】复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值.【详解】因为是方程的一个根，所以，即，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.11.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】因为函数在上是减函数，所以恒成立，分离参数，求的最小值即可.【详解】因为，在上是减函数，所以恒成立，即，而，所以只需，即，故选B.【点睛】本题主要考查了导数及导数在函数单调性中的应用，属于难题.解决已知函数单调性，求函数中参数的取值范围问题，一般需要利用导数大于等于零（或小于等于零）恒成立，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题来处理.12.已知都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①为奇函数，为偶函数；②；③当时，总有，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】 当时，总有,即，所以在上是增函数，且在R上是奇函数，又，所以当或时，因此可求解.【详解】令，因为，所以在上是增函数，又，故在R上是奇函数，且，所以当或时，因为，所以或，解得或，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，增减性，函数导数在判定单调性上的应用，解不等式，属于难题.解决此类问题的核心是，根据所给含导数的不等式，构造恰当的函数，并根据所给式子确定所构造函数导数的正负，从而确定构造函数的增减性.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列不等式:………则按此规律可猜想第个不等式为____________【答案】【解析】试题分析：观察给定的式子左边和式的分母是从1,2,3，……，直到，右边分母为2，分子为n+1，故猜想此类不等式的一般形式为：（）。考点：归纳推理。点评：简单题，归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。14.利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是________．【答案】【解析】试题分析：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是考点：数学归纳法15.曲线上的点到直线的最短距离是________【答案】【解析】试题分析：直线斜率是2，y'==2，x=，即y=ln上(,ln)处切线斜率是2 所以切线是y-ln()=2(x-)，2x-y-1-ln2=0，则和2x-y+3=0的距离就是最短距离在2x-y+3=0上任取一点(0,3)，到2x-y-1-ln2=0距离=。考点：导数的几何意义。16.若函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，函数的导数在R上恒大于等于零即可，，分离参数即可.【详解】因为函数在R上无极值点，故函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，又，所以.【点睛】本题主要考查了函数单调性，极值，函数的导数，属于中档题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数（1）m取什么值时，z是实数？（2）m取什么值时，z是纯虚数？【答案】（1）；（2）3【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题解析：（1）解当时，z为实数（2）解：当时，z为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件．18.已知函数.（1）求函数的极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）极小值为,无极大值；（2）.【解析】 试题分析：（1）先写出定义域,再求,令,得,再对左右侧的导数符号检验,看是否为极值点；（2）由（1）的结论,求出最大值和最小值.试题解析：解：（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＝，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值为．（2）由（1）可知函数f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝．考点：1.函数极值的求法；2.函数的最值.19.数列中，，前项的和记为．（1）求的值，并猜想的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据通项公式写出前三项，再写出的值即可（2）用数学归纳法证明即可.【详解】（1）∵，∴，，∴猜想．（2）证明：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即：；∴当时，∴时猜想成立∴由①、②得猜想得证．【点睛】本题主要考查了数列中归纳、猜想及数学归纳法，属于中档题.20.如图计算由直线y＝6－x，曲线以及x轴所围图形的面积． 【答案】【解析】【分析】画出函数图象，找到所围成区域，分割为两个区域，分别用定积分求其面积即可.【详解】作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．若选x为积分变量，所求图形的面积S＝S1＋S2＝＋＝＝＋＝＋8＝.【点睛】本题主要考查了函数的图象，定积分求函数所围成区域的面积，定积分的计算，属于中档题. 21.已知函数在处取得极值（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上有两个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：（1）令，即可求得值；（2）在区间上有两个不同的实根，即在区间上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数在上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得的范围．试题解析：（1），∵，．（2）所以问题转化为在上有两个不同的解，从而可研究函数在上最值和极值情况．∵,∴的增区间为，减区间为．∴，又，∴当时，方程有两个不同解．考点：1．函数在某点取得极值的条件；2．根的存在性及根的个数判断．22.已知函数在x＝－1与x＝2处都取得极值．(1)求的值及函数的单调区间；(2)若对，不等式恒成立，求c的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）函数在极值点的导数为零，利用求,再利用导数的正负求其单调区间（2）利用函数单调性，分析的最大值，只需即可.【详解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得即解得∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6. 令f′(x)<0，解得－10，解得x<－1或x>2.∴f(x)的减区间为(－1，2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．∴x∈时，f(x)的最大值即为：f(－1)与f(3)中的较大者．f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．要使f(x)＋cf(－1)＋c，即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪.【点睛】本题主要考查了函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的求解，属于难题.一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值.