2019-2020年高二数学下学期期中试卷 理（含解析） (III)

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2019-2020年高二数学下学期期中试卷理（含解析）(III)一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．　2．（5分）（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）　A．e2B．eC．D．ln2考点：导数的乘法与除法法则．分析：利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．解答：解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．点评：本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．　3．（5分）（2015春•会宁县校级期中）曲线f（x）=x3+x﹣2的一条切线平行于直线y=4x﹣1，则切点P0的坐标为（　　）　A．（0，﹣1）或（1，0）B．（1，0）或（﹣1，﹣4）C．（﹣1，﹣4）或（0，﹣2）D．（1，0）或（2，8）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：先求导函数，然后令导函数等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切点的横坐标，从而可求出切点坐标．解答：解：由y=x3+x﹣2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=﹣1时，y=﹣4．∴切点P0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选：B．点评：利用导数研究函数的性质是导数的重要应用之一，导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的帮助．本小题主要考查利用导数求切点的坐标．　4．（5分）（2015•枣庄一模）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（　　）　A．2k﹣1B．2k﹣1C．2kD．2k+1考点：用数学归纳法证明不等式．专题：综合题．分析：考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．　5．（5分）（2015•西安模拟）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）　A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）　C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）考点：利用导数研究函数的单调性． 分析：由题意已知函数f（x）的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断f（x）′的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，从而求解．解答：解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选B．点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，另外还考查学生的读图能力，要善于从图中获取信息．　6．（5分）（2010•永州校级模拟）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（　　）　A．0＜b＜1B．b＜1C．b＞0D．b＜考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选A．点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题．　7．（5分）（2015春•会宁县校级期中）设O是原点，，对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么对应的复数是（　　）　A．﹣5+5iB．﹣5﹣5iC．5+5iD．5﹣5i考点：复数代数形式的加减运算；向量的减法及其几何意义．专题：计算题．分析：直接利用复数的坐标运算及减法几何意义求解．解答：解：由，对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，所以=． 故选D．点评：本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数加减法的几何意义，是基础题．　8．（5分）（2015春•会宁县校级期中）由抛物线y=x2﹣x，直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为（　　）　A．B．1C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：由图形，利用定积分表示阴影部分的面积，然后计算即可．解答：解：由抛物线y=x2﹣x，直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为：=（）|+==1；故选：B．点评：本题考查了利用定积分求阴影部分的面积；关键是明确被积函数以及积分上限和下限．　9．（5分）（2013•山东模拟）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）　A．B．4e2C．2e2D．e2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．解答：解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2） ∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．点评：此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．　10．（5分）（2015春•会宁县校级期中）设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（　　）　A．0B．C．D．1考点：反证法的应用．专题：推理和证明．分析：根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论．解答：解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾．故a、b、c中至少有一个数不小于．故选：B．点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明，属于中档题．　11．（5分）（2011•山西校级模拟）如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（　　）　A．B．C．D． 考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，由此可知b2+c2+c2=a2+c2+2ac，整理得c2=a2+ac，即e2﹣e﹣1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e．解答：解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，当时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得，或（舍去）．故黄金双曲线的离心率．故选A．点评：本题主要考查了类比推理、椭圆的简单性质及双曲线的简单性质．注意寻找黄金双曲线中a，b，c之间的关系，利用双曲线的性质求解．　12．（5分）（2006•广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac﹣bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（　　）　A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣4）考点：进行简单的合情推理．专题：压轴题；新定义．分析：本题考查的简单的合情推理，是一个新运算，我们只要根据运算的定义：（a，b）⊗（c，d）=（ac﹣bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），结合（1，2）⊗（p，q）=（5，0）就不难列出一个方程组，解方程组易求出p，q的值，代入运算公式即可求出答案．解答：解：由（1，2）⊗（p，q）=（5，0）得，所以（1，2）⊕（p，q）=（1，2）⊕（1，﹣2）=（2，0），故选B．点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．　二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2015春•会宁县校级期中）复数的共轭复数是　　． 考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质求得所给的复数，从而求得它的共轭复数．解答：解：∵复数===，故它的共轭复数为，故答案为：．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．　14．（5分）（2012•南宁校级模拟）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于　5　．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．解答：解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故答案为：5点评：本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．　15．（5分）（2014•渭南二模）根据下面一组等式：S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175…可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=　n4　．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，可得Sn=（n3+n），再以2n﹣1代替n，得S2n﹣1=4n3﹣6n2+4n﹣1，结合和的特点可以求解． 解答：解：由题中数阵的排列特征，设第i行的第1个数记为ai（i=1，2，3…n）则a2﹣a1=1a3﹣a2=2a4﹣a3=3…an﹣an﹣1=n﹣1以上n﹣1个式子相加可得，an﹣a1=1+2+…+（n﹣1）=×（n﹣1）=∴an=+1Sn共有n连续正整数相加，并且最小加数为+1，最大加数∴Sn=n•×+×（﹣1）=（n3+n）∴S2n﹣1=[（2n﹣1）3+（2n﹣1）]=4n3﹣6n2+4n﹣1∴S1=1S1+S3=16=24S1+S3+S5=81=34∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1=n4．故答案：n4点评：本题以一个三角形数阵为载体，考查了等差数列的通项与求和公式、简单的合情推理等知识，属于中档题．　16．（5分）（2015春•三峡区校级期中）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是　2﹣2　．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2 =2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．　三、解答题（其中第17题10分，其余各题每题12分，共70分）17．（10分）（2013春•西城区期末）用数学归纳法证明等式：12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n（2n+1）（n∈N*）考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．解答：证明：（1）当n=1时，左边=12﹣22=﹣3，右边=﹣1×（2+1）=﹣3，故左边=右边，∴当n=1时，等式成立；（2）假设n=k时，等式成立，即12﹣22+32﹣…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k（2k+1）成立，那么n=k+1时，左边=12﹣22+32﹣…+（2k+1）2﹣（2k+2）2=（k+1）（﹣2k﹣3）=﹣（k+1）[2（k+1）+1]综合（1）、（2）可知等式12﹣22+32﹣42++（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n（2n+1）对于任意正整数都成立．点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．属于基础题．　18．（12分）（2015春•会宁县校级期中）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=﹣1时，f（x）的极大值为7，；当x=3时，f（x）有极小值．求：（1）a，b，c的值；（2）函数f（x）当x∈[﹣2，0]时的最大．小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）因为当x=﹣1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，所以把x=﹣1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值．（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值． 解答：解：（1）∴f（x）=x3+ax2+bx+c∵f′（x）=3x2+2ax+b而x=﹣1和x=3是极值点，所以，解之得：a=﹣3，b=﹣9又f（﹣1）=﹣1+a﹣b+c=﹣1﹣3+9+c=7，故得c=2，∴a=﹣3，b=﹣9，c=2；（2）由（1）可知f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2，∴f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴函数f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，0]递减，∴f（x）最大值=f（x）极大值=f（﹣1）=7，而f（﹣2）=﹣12，f（0）=2，∴f（x）最小值=f（﹣2）=﹣12．点评：本题主要考查导数在求函数的极值中的应用，做题时要细心．理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键，本题是导数应用题，常见题型．　19．（12分）（2010•潍坊模拟）已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）先根据题意设生产x件产品的平均成本为y元，再结合平均成本的含义得出函数y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可；（2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品．解答：解：（1）设生产x件产品的平均成本为y元，则（2分）（3分）令y'=0，得x1=1000，x2=﹣1000（舍去）（4分）当x∈（0，1000）时，y取得极小值．由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品（6分）（2）利润函数（8分）（9分）令L'（x）=0，得x=6000（10分） 当x∈（0，6000）时，L'（x）＞0当x∈（6000，+∞）时，L'（x）＜0∴x=6000时，L（x）取得极大值，即函数在该点取得最大值，因此要使利润最大，应生产6000件产品（12分）点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．　20．（12分）（2015春•会宁县校级期中）设关于x的方程是x2﹣（tanθ+i）x﹣（2+i）=0．（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意θ≠kπ+（k∈Z），方程无纯虚数根．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）先将原方程可化为x2﹣xtanθ﹣2﹣（x+1）i=0，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚数都为0得到关于θ的方程组，解之即得．（2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可．解答：解：（1）原方程可化为x2﹣xtanθ﹣2﹣（x+1）i=0，方程有实数根，设为x，∴．又θ是锐角，解得x=﹣1，故θ=．（2）证明：假设方程有纯虚数根，可设根为bi，b≠0，b∈R，则x2﹣（tanθ+i）x﹣（2+i）=0化为﹣b2﹣（tanθ+i）bi﹣（2+i）=0，即﹣b2﹣ibtanθ﹣2+b﹣i=0，可得﹣b2﹣2+b=0，解得b=∉R，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．点评：本小题主要考查复数的基本概念、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．　21．（12分）（2015春•会宁县校级期中）已知函数f（x）=ax3+bx2（x∈R）的图象过点P（﹣1，2），且在点P处的切线恰好与直线x﹣3y=0垂直．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；导数的概念及应用． 分析：（1）将P的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．解答：解：（1）∵y=f（x）过点P（﹣1，2），且在点P处的切线恰好与直线x﹣3y=0垂直，∴，∴a=1，b=3，∴f（x）=x3+3x2．（2）由题意得：f′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0，解得x＞0或x＜﹣2．故f（x）的单调递增为（﹣∞，﹣2]和[0，+∞）．即m+1≤﹣2或m≥0，故m≤﹣3或m≥0．点评：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．　22．（12分）（2014•商丘三模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．解答：解：（1）f'（x）=﹣（x＞0）依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤=在x＞0恒成立，即a≤[﹣1]minx＞0当x=1时，﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴ 设g（x）=则g'（x）=列表：X（0，1）1（1，2）2（2，4）g′（x）+0﹣0+g（x）↑极大值↓极小值↑∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣．点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．