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《小波变换课件 第1章 Haar小波》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第1章Haar小波分析1.1简介(近距离---小尺度）（高分辨率）(远距离---大尺度)（低分辨率）1.2平均与细节l设是一个信号序列。定义它的平均和细节：找出了、和、的关系。这里，是原信号前两个值、的平均。又叫低频成分，反映前两个值、的基本特征或粗糙趋势；反映了、的差别，即细节信息，又叫高频成分。找出了、和、的关系。同样，是原信号后两个值、的平均，反映了、的细节。我们把看作是对实施了一次变换的结果。变换还可以往下进行：==是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；。经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：该序列叫做原序列的小波变换，叫做小波系数。还可以反过
2、来表示：这是用｛,｝来恢复原信号、；用｛,｝来恢复原信号、。也就是反变换。l小波变换过程的塔式算法：例如，＝｛3，1，－2，4｝最终的小波变换为=1.3尺度函数与小波函数(1)Haar尺度函数不压缩：不位移位移一个单位位移k个单位压缩1/倍，不位移压缩1/倍，位移一个单位压缩1/倍，移位K个单位一般，u几个术语1）支撑（支集），（尺度）函数不为零的区间，上例中为。2）支撑的宽度，Haar尺度函数的宽度为。3）为分辨率，越大，尺度越小，分辨率越高。4）=为尺度。（分辨率越高，尺度越小）(2).Haar小波函数uHaar小波函数与尺度函数的关系v不平移、不压缩；平移一个单位；
3、………平移K个单位。v不平移，压缩1/倍；…先平移一个单位，再压缩1/倍，…平移个K单位，再压缩1/倍。uHaar小波函数的一般形式：=，位移k个单位，压缩倍。(3).分段常数函数也可将序列看成分段常数序列。用尺度函数和小波函数描述分段常数函数++写成=重写++故得＝＋注释：序列可由尺度函数和小波函数的系数来表示，既为的小波变换（系数）。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
4、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1.5小波变换的计算¨设是长度为（是大于1的整数）的离散序列，记为。函数展开为（1-20）将函数做一次小波分解，得（1-21）重复分解多次，可得在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。¨归一化尺度函数和小波函数归一化又叫做标准化或规范化，计算方法如下：，（限制在横轴0之间）=标准化尺度函数仍记为（1-22）同理，可得标准化Haar小波函数（1-23）u标准化二尺度方程（1-24，1-25）注释：标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具有相同的能量，从而可推出信号进行小波变换前、
5、后能量相等，既=+¨如何从快速计算小波变换系数：§重写（1-21）式§现将式（1-21）二端在范围内对做内积，得===(1-26)注释：这里正交性保证了（1-26）式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为1。§再将式（1-20）,即代入（1-26）,左边得==注释：若设k=0，则=①所以，=②所以，==因此，=即§一般有，，=注释：1）归一化后，2）关于积分=§同理，有小波系数=1.7小波变换的滤波器组实现―――Mallat算法1.7.1离散序列的巻积已知序列做巻积的两个序列的长度不一定相等。1）由巻积公式求巻积：记为与巻积后得到的新序列，为第个元素，则
6、==［例1－1］={1,0.1,-1}m=2；={0.1，1，0.1，-1}k=3，求卷积和。①简便算法从下面序列最右边一项开始，分别与上面序列各项相乘，直到下面序列最左边一项完成同样相乘，再按列相加。这种方法结果序列下标是原两序列下标位的代数和确定的。利用这种方法，卷积和可一次计算出来，而且下标确定简单。②用MATLAB实现：a=[0.1,1,0.1,-1];b=[1,0.1,-1];y=conv(a,b)ans=0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000③滑尺法两序列0点对齐，计算对应元素乘积并求和得y(0)；下列向右滑动一位，再计算
7、各对应元素乘积并求和，得y(1)；……直到所有n>0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。回到两序列0点对齐位置，向左滑动一位，计算各对应元素乘积并求和得y(-1)；再向左滑动一位，……,直到所有n<0情况下对应元素乘积再求和等于零为止。这种方法最大优点是结果的下标确定直观，但计算稍复杂。2）域中的巻积［例1－2］，=将序列中的每一项转换为的多项式，得===所以，={3，8，1，-2}。1.7.2二通道滤波器组高频成分(细节)低频成分(近似或概貌)受污染信号分析滤波器综合滤波器¨虚线左：分析滤波器1)信号通过两路互补对称的滤波器
