小波变换课件第1章haar小波

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第1章Haar小波分析1.1简介 头进向镜推方d以较高频率作分析以较低频率作分析（近距离…小尺度）（高分辨率）平移方向r1.2平均与细节（远距离…大尺度）（低分辨率）•设｛西，兀2,兀3，无｝是一个信号序列。定义它的平均和细节:兀2和d],（八d],o的关系。这里，生。是原信号前两个值；V兀2的平均。又叫低频成分，反映前两个值兀「兀2的基木特征或粗糙趋势；d,反映了召、吃的差別，即细节信息，又叫高频成分。alA=(x3+x4)/2=(x3-x4)/2找出了兀3、兀4和％1、4」的关系。同样，4.1是原信号后两个值心、耳的平均，d[j反映了“、“的细节。我们把｛q.o,Q]」,心]｝看作是对｛x1?x2,x3,x4｝实施了一次变换的结果。变换还可以往下进行：^o.o=（°i,o+%]）/2=((%!+x2)/2+(x3+x4)/2)/2=(%!+x2+x3+x4)/4do.o是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；do.o=（q。-q.J/2。 经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示:｛。00，〃00，%o，％]该序列叫做原序列的小波变换,气(),血”九厨」叫做小波系数。述可以反过来表示:这是用｛厲妙,。｝来恢复原信号州、｛。2“1」｝来恢复原信号兀3、也就是反变换。•小波变换过程的塔式算法:例如，{xpx2,x3,x4}={3,1,—2,4}311｝:最低分辨率低频信息｛*｝:最低分辨率细节信息｛2,1｝：次高分辨率低频信息｛1.-3｝：次高分辨率细节信息｛3,1,-2,4｝：最高分辨率信息31最终的小波变换为｛气0，%，血0，%,12｛夕歹1，一3｝JJ1.3尺度函数与小波函数(1)Haar尺度函数0(/)=4仏,0⑴0(f-l)=0()l(/)0(/-灯=0(無(/) ttt0»00]kk+10不压缩：不位移位移一个单位位移k个单位 。⑵）=0［,0（0禅2(—1/2))=妙_1)=血(。0(2仃—0=0/)01/2°1/2M(W2y压缩1/2】倍，不位移压缩1/2】倍，位移一个单位压缩1/2"咅,移位K个单位一般W)=0(2“—約，k=0丄2,…2—1♦儿个术语kk+11）支撑（支集），（尺度）函数0从⑴不为零的区I'可，上例小为［万,=］。222）支撑的宽度，Haar尺度函数的宽度为1/2」。3）丿为分辨率，丿越大，尺度越小，分辨率越高。4）l/2j=2~j为尺度。（分辨率越高，尺度越小）（2）.Ilaar小波函数0（。0（。=00・0（。=久0（'）一知（。♦Haar小波函数与尺度函数的关系0⑴11t►必-1）二|^0,1⑴3/22t01/20——►不平移、不压缩；平移一个单位: 比+2)/2=E+l02k/2^ky(2fc+l)/2=E+l/2k平移K个单位。 1/41/21/23/4~n2k/^J(2fc+l)/^Qk+2)/^t►•:•不平移，压缩1/2】倍；…先平移一个单位，再压缩1/2】倍，…平移个K单位，再压缩1/2^倍。♦Haar小波函数的一•般形式：y/jk=,k=0丄…2-1位移k个单位，压缩2)倍。(3).分段常数函数也可将序列｛州,冬，兀3，兀｝看成分段常数序列。用尺度函数和小波函数描述分段常数函数/(/)=兀內0］/4|(/)+兀2筍/4,1/2］⑴+“3召］/2,3/4］⑴+兀4*|3/4.1］(":▲“0(20=0,0(了)怏彳-1/0)=皿-1)=%()(/)写成祕0©+咙1(')+琳20)+也(0V7Z 几)兀102,0（。+“202,1⑴+兀30,2（'）+兀402,3（‘）气0=（珂+兀2）/2%]=（勺+勺）/24（）=（坷-兀2）/2dn=（x3-x4）/2/（0=%001,0（t）+%101,1（/）+£,0匕,0（/）+dW,（r）J」再求平均和细节得呦,0和doo故得=他000.0（『）+〃0.000.0⑴+⑴+心0口（。J丿呦,0=（%0+%1）/2〃（）,0=（化0一切）/2注释：序列｛兀“2“，“｝可由尺度函数和小波函数的系数來表示，既｛气（）,〃（2心（）,如｝为｛知兀2,兀3凡｝的小波变换（系数）。1.5小波变换的计算♦设｛xpx2,x3,x4｝是长度为2n（n是人于1的整数）的离散序列，记为｛dn（）,・・・,c嘉2“]｝o函数九⑴展开为fn⑴=%,0血,0（（）+・・・+_1血,2"T⑴（1-20）将函数九⑴做一次小波分解，得fn⑴=%—1,0血70⑴+•・•+给-1,2“_1,2"1一1⑴*概貌（皐均或低频部分），用£_|⑴表示（扁巴_]）际续分解仏,必十（『）+…+化_12宀匕-1,2门-1⑴（21）V/系数C1,细节（差别或高频部分）T构成小波变换系数的一半重复分解多次，可得£（/）在不同尺度下尺度函数和小波函数的展开式。♦归一化尺度函数和小波函数归一化乂叫做标准化或规范化，计算方法如下：f=J〈/J〉，W=（fJ）=ffdt=fdt*（0=0（2丿以）,£=0,1,…,2—1（限制在横轴01之间） 伙+Y）/2j伙+1）/2丿]0川⑴二|冷⑴力二f力二刁k/2jk/2j标准化尺度函数仍记为0(2"_R)K<0(2%-k)2一〃22〃20(2%_R)0沁)=2〃20(2%_R)(1-22)同理，叮得标准化Haar小波函数%⑴=2〃»（2•仃_&）(1-23)♦标准化二尺度方程p（/）=2"0⑵）+2®0⑵一1）匚⑴=2"0⑵）_2"0⑵一1）(1-24,1-25)注释：标准化函数的物理意义是，尺度函数和小波函数在不同分辨率下具冇相同的能量,从而可推出信号进行小波变换前、后能最相等，既♦如何从｛陽小…卫心“J快速计算小波变换系数：*重写（1-21）式fn⑴=陽-1,00-1,0⑴+・••+叫一1,2宀必_1,2门-1⑴+比700-],0（。+…+久_],27匕_],2“九1⑴*现将式（1-21）二端在01范围内对血十⑴做内积，得[fn（：）血一1&⑴df=（an-[,k（/fn-l,k⑴力=°“-1水（f）dt=a”_花（1・26）注释：这里正交性保证了（1-26）式右边只有一项内积不为零；尺度函数的标准化保证了积分结果为lo*再将式（1-20），即九⑴二％血0（/）+…+仏2"-血2”-1⑴代入（1・26）,左边得[[仏0必,0⑴+…+你,2”一血2”一1⑴]血4⑴力 ([务02"/20(2"°+色]2"/20(2"—1)+・・.]2心/20(2”-1一幻力二仏°2灼id0(2S_上)0(2"十一側+…叫十注释:若设k=0,则［九⑴血一从⑴dt［九⑴血7。⑴df①0(25)0(2"—0)所以,f0(2”r)0(2”/W=『1(2")0(2")力=(/2nclt=②0(25—1)0(2"“—0)所以,]/2"T/2：gt-W)dtJ沖妇丄-丄1/2"2'i2n_2__j__j_=F~F=F因此,anQ2n/22n~[/2^(2nt)^2n^t)dt4-(；：'anA2n/22n~y2^(2nt-l)^(2n^t)dt叫2十*+%2±尹1%・o+£,i_^-lo=Ko+^j)/V27,k=(%2k+%2少Q2=0丄2,…，2心—1"n,2k/血+%2R+1/血注释:1）归一化后,加⑴=2〃20(2%-Q2）关于积分[盘十(加2([2”"0(2“_約]2力=[2"-切2(2/,_1f-R)占d(2“tt-k))/V2,jt=0,l,2,...,2,,~,-l*同理，冇小波系数^n-Lk=（%,2R~an,2k+l an,2kI近-ant2k+i/近1.7小波变换的滤波器组实现Mallat算法1.7.1离散序列的巻积已知序列Q={。0,4，。2,…,®”},/(6f)=777+1b={/?(),勺,/?2，...,俵},1(b)=k+l做巻积的两个序列的长度不一定相等。1)由巻积公式求巻积：记a*b为Q与b巻积后得到的新序列，为第"个元素，贝I」(d*瞅=4肉+0肉_]+・・・+%]勺+勺/()=工色仇4kl(a*b)=l(a)^-l(b)-i[例1—l]dOTOm=2；求卷积和。①简便算法从卜•面序列最右边一项开始，分别与上而序列各项和乘，肓到下而序列最左边一项完成同样相乘，再按列相加。这种方法结果序列下标是原两序列下标位的代数和确定的。利用这种方法,卷积和可一次计算出来，而且下标确定简单。5={%,勺，人,伏}二{0.1,1,0.1,-1}k=3,T00」10」-110」一1-0」-1-0」10.010.10.01-0.10」10」-10」1.010」-1.99-0.21②用MATLAB买现：a二[0.1,1,0.1,-1];b=[l,0.1,-1];y二conv(a,b)ans=0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000③滑尺法两序列0点对齐，计算对应元索乘积并求和得y(0)；下列向右滑动一位，再计算各对应元素乘积并求和,得y(l)；……直到所冇n>0情况下对应元索乘积再求和等于零为止。回到两序列0点对齐位置，向左滑动-•位，计算各対应元素乘积并求和得y(・l)；再—b-2h-ib()bb向左滑动一位，……，直到所有nv()情况下对应元素乘积再求和等于零为止。这种方法戢大 优点是结果的下标确定直观，但计算稍复杂。2)z域中的巻积[例1—2]a={a(),aj={3,2},/?={%,勺,乞}={1,2,-1}将序列中的每一项转换为r1的多项式，得a={a。,®}={3,2}<=>a(z)=^akz~k=3+2厂kb={%,%$}={12—1}<=>b⑵=工L=MZ-[-r2ka*botz(z)b(z)二工(0*力)沁一“ka⑵b⑵=(3+2厂)(1+2*—厂)=3+(2+6)z_1+(-3+4)z'2一2z'3=3+8厂+1厂一2厂所以，o*b二{3,8,1,-2}o1.7.2二通道滤波器组♦虚线左：分析滤波器1）信号通过两路互补对称的滤波器后，整个频带被划分为二，得到近似和细节二路信号。每路信频宽带是原來的一半。2）若原始信号由1000个点,通过两路互补对称的滤波器后,共得到2000个点，存在信息冗余。3）增加抽样器町减少滤波器 输出数据兀余。J2表示2抽取（2元下采样），信号带宽减半，采样率减半，不引起信息丢失。♦虚线右：综合滤波器一一用來恢复原信号。九斤低通滤波器；g,g高通滤波器。♦二元下抽样：用12表示，每隔一个元素抽取一个，定义算子D：若x=｛...,x_2,x_1,x0,x1,x2,...｝,那么二元下抽样序列为或（Dx）r=x2k,（k=...,-2,-1,0,1,2,...）ez♦对于分析滤波器：输入信号｛百｝与低通滤波器斤做卷积，再进行二元下抽样,得到低频系数｛①｝；输入信号｛£｝与低通滤波器g做卷积，再进行二元下抽样,得到高频系数｛dn｝；♦对于综合滤波器：低频系数｛陽｝进行二元上抽样麻再与低通滤波器力做卷积；高频系数｛£｝进行二元上抽样后再与高通滤波器g做卷积，两个序列相加得到重构信号;♦二元上抽样用T2表示，向序列中每隔一个元素插入一个零，组成一个新序列，定义算子U：若兀=｛...,x_2,x_px0,xpx2,...｝,那么二元上抽样序列为Ux={...,0,x_2,O,xo,O,x2,O,...}(如二°l®/2.k为奇数k为偶数1.7.2小波变换的滤波器组算法对于二尺度方程0(/)=2一山0(2"+2一“0(2—1)肖⑴=2一山0(2/)_2一说0(2(_1) 则系数序列为{}和{令h=(h^}={}，g二{go，gj={J1_}。可以验证♦h={hn}={hM和g={g〃}={g°,gJ就是我们以后要用到的滤波器，记h={hn},其中hn=h_n,称斤为力的吋序反转。特别是对于Haar小波，有-10_IJh={0,/ii,/?o,O}g={0,厲，&),0}T?-io♦小波变换的滤波器组算法1)分析滤波器实现Hear小波分解对于任一长度为2〃的输入序列/={%。,...,你2”_J，利用求平均和细节的方法，可得低频分量和高频分量：={%-1,0叫-1,1…叫-⑴丿1={血-1,0，〃“-1,1・・・，〃“_1,2"-1}其中，an-,k=(%2R+%2R+l)/dk=0,1,…,2"1-1^n-,k=(%2R-％2上+1)/血k=0,1,...,2"1-1小波变换的滤波器组算法，就是输入序列対滤波器系数作巻积。为此先将原信号序列补零扩展成无穷序列，再作巻积。(0]/*石_n%0Q儿0—°打JQ儿1+°仏2°儿2"-2+°儿2"-1气2"-1ndn—i—,/=,,•••，~，u,•••V2V2V2V2V2叫,2"-2气2"-l儿2“-1门从而, 1000个an~l500个500个图1-15用分析滤波器实现Haar■小波变换D(an^h)=—3,—h1}