范希尔的理论

《范希尔的理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、范希尔理论及其相关研究    荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观(Visualization)、分析(Analysis)、推理(Inference)、演绎(Deduction)、严谨(Rigor)I引．这些不同的水平是不连续的，但却是顺次的．学生在进入某一水平学习之前，必须掌握之前水平的大部分内容．因此，势必需要讨论如何才能使学生从一个水平跳跃到下一水平?Alan Hoffer根据范希尔理论给出了学生在每个思维水平上几何学习的阶段：熟知(Familiarization)、受指导的定向(Guid

2、ed  Orientation)、描述(Verbalization)、自由定向(Free  Orientation)、整合(Integration)[41美国数学教育界了解范希尔理论开始于1976年Wirszup的文章，在之后的近三十年里开展了较为全面的研究．如Mayberry研究了5个水平的本质及学生在各水平中的组织；Usiskin以范希尔理论为依据测量了学生的几何能力；Fuys等调查了范希尔理论的教学效果；Burger等则调查了这些水平在描述学生几何思维水平中的有效性，以及学生的外在行为对各水平的反映效果．我国了解范希尔理论的时间比较晚．目

3、前对该理论的研究还处于介绍和应用的阶段．如李士镝在分析几何认知的特点时，对范希尔的几何思维发展理论作了详细介绍；章建跃在解释平面几何入门难的问题时，也应用了该理论。但问题是范希尔理论产生于荷兰，其学生受西方文化的影响，对于受东方文化影响的中国学生，这一理论是否依然有效?一项由美日学者共同开展的跨文化研究【41表明，美日两国学生尽管在几何学习的阶段上存在细微的差异，但总体上，范希尔理论对于在东方文化下成长起来的学生仍然是有效的．因此，我们有理由相信，在东方文化下，范希尔理论仍然是可以应用的，也可作为中美几何课程比较的一个理论依据．       范

4、希尔理论在“相似”领域的具体化对比中美几何教材【  ’及《标准》可以发现，“相似”一章主要包括比和比例，图形相似的概念和性质，相似三角形概念、性质及判定，相似性的应用等内容．其中比和比例是研究相似性的重要工具．在本章学习之前，中美学生(美国学生指以《发现几何》为教材的学生，以下同)均已学过数的比和比例．因此，本章主要学习的新知识为图形的相似及相似三角形．为了利用范希尔理论比较两国的这两部分内容，以下是对该理论在这一领域上的具体化。O一水平，感受相似．学生通过直观图形从整体上感受图形的相似．具体地：(1)学生利用现实生活中“相似”的概念举出一些认

5、为是相似的实物或图形，但可能不是数学中的相似；(2)学生通过照片或影印感受相似是通过放大或缩小而来的；(3)学生能从一组图形中直观地区分出相似图形，但其理由只能涉及“看上去相同”或一图形放(缩)后能与另一图形重合．     1一水平，分析相似．学生能从图形的基本组成元素得出相似图形的性质，能构造图形说明相似．具体地：(1)学生能在方格纸或格点纸上绘已知图形的相似图；(2)学生使用测量的方式发现对应边、对应角之间的关系；(3)得出相似形对应边成比例，对应角相等的结论(以下称性质1)，但还不能清楚地意识到这一结论的逆向结论也成立；(4)利用性质1求

6、相似形中的未知量；(5)相似三角形的概念、符号及其读法．      2一水平，关系一推理．学生能理解相似的判别定理，并能通过简单的推理得到更多的性质．具体地：(1)学生认识到对应边成比例、对应角相等的两图形相似，但只能通过放缩的思想直观感受，或通过计算机模拟实现；(2)通过性质1进一步推出周长、面积等关系，并认识到性质1是基础的：(3)得出相似三角形对应中线、高线等的关系；(4)利用性质1的逆判别图形相似；(5)通过观察、实验等方式，从具体例子中归纳出相似三角形的3个判别定理；(6)通过位似画相似图．    3一水平，形式演绎．学生能进行判别定

7、理的形式证明，能进行多步骤的演绎．具体地：(1)学生能利用平行等相关知识证明图形相似；(2)在位似图上证明相似性；(3)对相似三角形的判别定理给出演绎论证．    4一水平，拓展．学生能对相似图的位置关系进行分类，发现其与变换问的关系；利用群的理论解释相似．