圆盘自转问题研究

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1、盘自转问题研究陕西省小学教师培训中心王凯赵熹民桌上有一半径为2r的固定圆盘q与一半径为r的活动圆盘冬，将圆盘Q的边沿作无滑动的滚动（滚动时始终保持两圆边沿相切）。当圆盘勺绕着圆盘Q转动一周后，圆盘勺本少旋转了（）。A.1圈B.2圈C.3圈D.4圈这是第五届初中“祖杯赛”试题。这道题涉及到鬪盘的自转。什么是圆盘的口转？圆盘围绕口己的圆心转动即为口转。当圆盘围绕自己的圆心转动一周就称为圆盘自转一周或一•圈。为研究上题，我们先研究一个简单问题。例1桌上有一个固定的圆盘与一个活动的圆盘，这两个圆盘的半径相等。将活动圆盘绕着固定圆盘的边沿作无滑动的滚动（滚动时始终保持两圆盘边沿密

2、切相接），当活动圆盘绕着固定圆盘转动一周后，活动圆盘本身旋转了圈。（第二届小学“祖杯赛”试题）解：实验观察。观察上图可见，在活动圆盘绕着固定圆盘转动过程中，从图1到图2,由T到活动圆盘自转了丄周；从图1到图3,由T到I再到T,活动圆盘自转了1周。从而可知，当2活动圆盘绕着固定圆盘转动一周后，活动圜盘木身自转了2周即2圈。答：活动圆盘本身自转了2圈。从图4和图5可见，在活动圆盘沿着肓线或凸形曲线作无滑动的滚动时，圆心0移动的路程等于圆的周长时，此圆刚好B转一周。这样，活动圆盘白转的圈数就可以用圆心0的路程是它周长的倍数来计算。即圆口转的周数二圆心移动的路程圆的周长例2文首

3、第五届初中“祖杯赛”试题。解：活动圆盘的周长为2Jir,活动圆盘©绕着固定圆盘Q转动一周时，活动圆盘圆心。2移动的路程为2nX(3r)=3X(2nr),而—^—^=3,即活动関盘本身旋转了3圈。选2兀厂择C。例3AABC的周长与圆0的周长相等，当圆0沿AABC的边沿作无滑动滚动一周后，圆0自转了儿圈？解：如图6所示。0

4、。2+O3Q1+°5°6=AB+BC+CA=圆0周长由ZO(AO=360°-90°-90°-ZA=180°-ZA,Z=180°-ZB,Z()4CO,=180°-ZC及ZA+ZB+ZC二180°有：ZO(AO}+ZO2BO3+O4CO5=360°。图6而O

5、.A=AO}=O2B=BO.=O4C=CO5=圆0半径，所以，弧0(0+弧QQ+弧。4°5二圆0周长。圆心0移动的路程是2个圆周长，故圆0自转了2圈。答：圆O自转了2圈。例4AABC的周长是圆0周长的k倍，当圆0沿AABC的边沿作无滑动滚动i周后,圆0自转了儿圈？解：市图6可知：0

6、02+°3°4+°5°6二AB+BC+CA=

7、员

8、0周长的k倍。弧。6°1+弧+弧。4°5二圆0周长。圆心0移动的路程是(k+1)个圆周长,故圆0自转T(k+1)圈。答：圆0自转了k+1圈。由凸n边形的外角和是360°知，凸n边形的周长是圆O周长的k倍,当圆0绕着凸n边形的边沿作无滑动滚动一

9、•周后，圆0本身自转了k+1圈。—•般地，若封闭的凸平面图形的周长是圆0周长的k倍，那么当圆0绕看凸平面图形的沿作无滑动滚动一•周后，圆O本身自转了k+1圈。例5如图7所示，冇7个同样大小的圆固定不动，另冇一等圆圆A紧贴7个固定的圆滚动而不是滑动，当绕完一周回到原来的位置时，木身转了多少圈？360°解：由图7可见，ZABC=120°=-—,把

10、员IB看作固定圆，圆A是滚动圆，从圆A322到圆C,山例1知圆A本身自转了一圈。故有：一X6=4（圈）。33答：滚动圆圆A本身自转了4圈。木文发表于《屮学数学教学参考》1993年第9期P20,29o