转化数学中的一种常用解题策略

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1、转化一一数学中的一种常用解题策略湖南长沙市二十九中学吴安娜“转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一，转化就是在分析、解决问题时，把那些待解决或较难解决的问题，通过某种转化过程，把复杂的、隐蔽的问题转化为简单的、明显的问题。转化包括等价转化和非等价转化两种形式，等价转化要求转化过程中成因后果应是充分必要的，这样的转化能保证转化后的结果仍是原命题所需的结果。非等价转化给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分，高考中常考的是等价转化的思想方法。转化思想包括了数字中的许多思想方法，数形结合的思想体现了数与形的相互转化，函数与

2、方程的思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化思想的具休体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段，高中数学的转化方法多种多样，常用的有下列几种：一、高次（或多元）向低次（或低元）转化无论是方程（或方程组）还是不等式（或是不等式组），它的解题的思路就是消元或降次「X+Y+Z=3①例1:求方程组VX2+Y2+Z2=3②LX5+Y5+Z5=3③的所有实数解：解析：由①设X=l+a,Y=l+b,则Z=1-(a+b)代入②，得(l+a)2+(l+b)2+[l-(a+b)]

3、2=3即a2+ab+b2=O.I(a—b)(a2+ab4-b2)=0即a3—b3=0a=b・x=y同理y=zz=x代入①得x=y=z=1经检验x=y=z=l是原方程组的实数解，也是唯一的解，例2：设xR求证(x2+4x+5)(x2+4x+2)+2x2+8x2—10解析令x2+4=yJxR/.y^—4原不等式v=>(y+5)(y+2)+2y+10三0<=>(y+2)2—丄$0(*)724Vy^-4/.(y+-)2^丄从而(*)式成立当且仅当y=—4即x=—2时，不等式取等号，故原不等式成立。二、特殊与一般的互相转化从特殊到一般，从一般到特殊的思维方法是数学

4、和其地科学领域中进行探索，发现真理的重要途径，对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先考虑特殊情形，探求解题思路或命题的结论，再给出一般情况下的证明，体现了以退为进，以屈求伸的解题策略。例3：是否存在等差数列｛a“｝使得a®n+a2a_]+……+a佝二C/对一切口然数n恒成立？若存在，求出其通项公式；若不存在，请说明理由。分析：假设等差数列存在，先由等式求出at>a2的值，便可求出公差d=a2-af,进而求得通项公式，再用数学归纳法证明等式对一切口然数n均成立。也可假设等差数列｛如｝存在，设出通项公式为an=bn+c(其中b、c为待定系数)对已知等式

5、左边求知，再由多项式恒等求得b、c的值。-a(=1F]=l厂<=>Y或Yj2a卫2=4ja2=2ja2=—2由已知等式aj=—1解析1：假定等差数列｛an｝存在，公差为d,令2得所以d=l或d=—1因为an=ai+(n—l)d所以an=n或an=—n若an=n只需证明等式1n+2(n—1)++(口一1)2+nl=

6、n(n+l)(n+2)(*)对一切自然数n均成立。6既可用数学归纳法给予证明(此处略)，也可对(*)式左边直接求和加以证明:解析厶假设存在等弟数列，满足题设条件，使其通项公式为an=bn+c(其中b、C为待定常数)则ak•an+i-k=(bk4-

7、c)[b(n+l—k)+c]=—b2k24-b2(n+1)k+bc(n-i-1)4-c2所以ai•an+a2•an-i++%-1•a2+an•aiPlPl=-b2?K2+b2(a+l)ZK+[bc(n+l)+c2]•n=—b2•-n(n+1)(2n+1)+b2(a+1)•-n(n+l)+[bc(n+l)+c2]•n62=-n[b2n24-(3b24-6bc)n+2b2+6bc+6c2]①6又C爲=-n(n+l)(n+2)=-n(r?+3n+2)②66rti①、②比较系数得:b=lc=0b2=l3b2+6bc=3=>2b2+6bc+6c2=-2解an=n或如

8、=—n由此可知，存在满足条件的等差数列｛如｝,其通项公式是砖n或砖如三、正面向反面转化很多数学问题正面难于入手，但从问题的反面则易于解决，故此我们通常用正面向反面的转化方法去解决一些数学问题。例4：若二次出数/(x)=4x2—2(p—2)x—2p2—p+1在间］一1・1］内至少存在一点C(c,0)使金)>0求实数p的取值范围。分析：先考虑0］/(l)W0=>

9、或pW—3・•・Pe(-3,

10、)例5：8个人排队，A、B、C3人互不相邻，甲、乙2个也不相邻的排法有多少种？分析：p；—p；—p：p；p；=11520(种)四、隐含向明朗转化由于有些数学问题表面上没有

11、任何突破口，入手之处，但只要我们认真分析出题中隐蔽条件，就会使问题