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时间:2018-04-10
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1、浅谈数学中的一种常用解题策略—转化浅谈数学中的一种常用解题策略——转化 “转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一。转化就是在分析解决问题时,把那些待解决或难解决的问题,通过某种转化过程,把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。初中数学的转化方法多种多样,常用的有下列几种: 一、高次(或多元)向低次(或低元)转化; 例1已知X2-2X-l=0,则代数式X3—X2—3X十2的值是(97年广东省初三数学竞赛第一道试题) (A)O(B)1(C)2(D)3 分析:此题若通过已知X2-2X-1
2、=0解得 X=2土石代入原式求出答案,显然运算量大。因此为了减少运算量,我们应将问题转化,经分析可知:X2=2X十1代人原式,从而达到降次的目的,最后得到正确答案(D),由此可见,通过降次,可以将复杂问题转化为简单低次的问题,从而得到解决。 分析:解多元方程组的思想方法是将多元方程组转化为低元方程组,最后转化为一次方程而求得,此题的解题思想方法如下所示:三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程 二、特殊与一般的互相转化从特殊(一船)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科学领域中进
3、行探索,发现真理知识的重要途径。 例3圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 分析:考虑到圆周角与圆心角的一般关系,我们可以分为下列三种情况来证明。 (1)如图1圆心在圆周角的一边上: 易证得∠APB=1/2∠AOB (2)如图2圆心在圆周角的内部: 易证∠APB=∠APS-∠BPS=1/2∠AOS-1/2∠BOS=1/2∠AOS (3)如图3圆心在圆周角的外部: 易得∠APB=∠APS-∠BPS=∠AOS-1/2∠BOS』J=1/2∠AOB 综上所述,不论哪
4、种情况,圆周角都等于它所对的弧所对的圆心角的一半,从而命题得证(详细过程参考《几何》第三册P91-92)这是由特殊到一般的转化。 例4如图4,已知定圆⊙O1;与定圆⊙02外切于P点,AB是过切点P的任一直线分别与⊙01和⊙02交于A、B求证:AP/BP是一个定值。则应先找出这个定值,而题中给出的条件中固定不变的只有两圆的半径(不防设为R.r)即要证AP/BP与R,r有关,由此启发我们过切点P作⊙Ol与⊙02的直径CD构成Rt△APC~Rt△BPD,得出AP/BP=CP/DP=r/R:参由此可见
5、,找出定值的进程就是由一船到特殊转化的过程。 三、正面向反面的转化。 很多数学的问题正面难于入手,但从问题的反面则易于解决,故此我们通常用正面向反面的转化方法去解决一些数学问题。 例5若三个方程 至少有一个方程有实数解,试求实数a的取值范围。 分析:条件“至少有一个方程有实数解”的情况十分复杂,如逐个方程讨论,势必造成运算过程繁琐,且容易出错。但若从这个问题的反面去思考,将问题转化为“三个方程都没有实数解”,则使问题变得单一、明白,由此可得 综合得出-3/2<a<-1时,三个方程都
6、没有实数解,由此可知,当a≤-3/2或a≥-1时,三个方程必定有一个方程有实数根。 四、隐含向明朗转化。 由于有些数学问题表面上没有任何突破口、入手之处,但只要我们认真分析找出题中隐蔽原条件,就会使问题迎刃而解。 例6化简:(2+1)(22+1)(24+1)…(264+1)+1 (摘初一级第八届“希望杯”培训题) 分析:此题初看起来难于动笔,查只要认真分析,观察一下题型结构,较快发现一个隐蔽条件:1=2-1,再利用平方差公式,很易使问题得到解决。 解:原式=(2-1)(2-1)(22
7、十1)…(264十1)十1 =(22-1)(22十1)(24十1)…(264十1)十1 =2128 五、致与形的相互转化。 例△ABC的三边为连续的自然数,且最大角为最小角的二倍,求三边长(95年天津市,初三竞赛题) 分析:这道题的常见解法是构造三角形法,依题目的已知条件,构造如图5设∠CAB=2∠C,对应边分别为X-1,X,X十1延长CA到D,使AD=AB,连结BD,得到△ADB。△BDC,因此有(x+1)/(x-1)=(2x-1)/(x+1),解得x=5 从而得出
8、三角形三边之长 六、综合(或复杂)向单一(或简单)的转化,是解综合题的常用思维方法之一。 例8如图690n与①02外切于点P,CD为两圆的外公切线,PT为两圆的内公切线,且①O,与①02的半径分别为—9和4 (1)求PT的长; (2)求Sin01的值; (3)证明PC·PD=PA·PB; (95年广西壮族自治区升中试第31题) 分析:这个综合(或复杂)题可以转化为三个单一(或简单)的基本问题是: 1、在△PCD中,若TC=Pr=TD,点T在cD上cD=12,求Pr的长; 2、在
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