距离最短或最大问题分析.doc

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1、初中数学专题复习：最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型

2、，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”AB′Pl几何模型：条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）．模型应用：例1如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，

3、则的最小值是___________；例2如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；例3如图3，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．解：（1）的最小值是（2）的最小值是路虽远，行则必至；事虽难，做则必成10（3）周长的最小值是注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”ACBPACBPQACBPQ例4如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点

4、，设的长为，请写出最小值，并说明理由。（1`）（1``）（1```）【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和最小”。因此，可由图（1`）（连结关于的对称点与所成线段，交于。或图（1``）（连结关于的对称点与所成线段，交于，都同样可得最小值。解：如图（1```），作点关于的对称点，连结交于点，易知，。在中，，又，在上任意取一异于的点，连结，则对边上的动点，最小值为。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”几何模型：条件：如下图，、是直线同旁的两个定点．路虽远，行则

5、必至；事虽难，做则必成10问题：在直线上确定一点，使的值最大．方法：作过点与点B的直线，直线AB与交于点，则的值最大（不必证明）．若、是直线异旁的两个定点．则先做对称点，再连接对称点与A（或B）。模型应用：例1抛物线交轴于A，B两点，交轴于点已知抛物线的对称轴为.求（1）求抛物线的解析式；ABC（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。例2已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.(1)试直接写出点的坐标；(

6、2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.解：(1)依题意得：；路虽远，行则必至；事虽难，做则必成10(2)∵，，∴.∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点∴解得：∴抛物线的解析式为.存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.∵点、点关于直线对称，∴要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大.设过、两点的直线解析式为，∴

7、解得：∴直线的解析式为.当时，.∴存在一点使得最大【超强大脑训练营】ADEPBC1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）路虽远，行则必至；事虽难，做则必成10A．B．C．3D．第2题2．一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．∴解

8、析式为：y＝－2x＋4；(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．(亦可作Rt△AOB关