TSX盖尔圆盘定理.ppt

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1、Getschgorin(盖尔)圆盘定理主讲人：唐顺仙班级：信处10级2班1、本次课的主要内容及目标（一）掌握用矩阵的元素来确定A的特征值的分布区域。（二）理解Gerschgorin的定义1、2，推论及定理1、2、4。（三）了解特征值的隔离方法第1页共16页定义1对方阵，称为矩阵的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并集为矩阵的行盖尔（Gerschgorin）区域。这里称盖尔圆的半径为类似地，可定义矩阵的列盖尔圆。第2页共16页定理1（Gerschgorin圆盘定理1）设，则A的任一特征值其中为矩阵A的盖尔区域证明……第3页共16页定理1的证明：设有特征对，这里，则其中又

2、可知：当i=k时有从而即证第4页共16页例1矩阵的三个行Gerschgorin圆分别是：提问：有没有对A的特征值更精确的估计方法？第5页共16页应用盖尔圆定理估计矩阵的特征值时，往往希望每个盖尔圆中只含它的一个特征值，当的若干个盖尔圆相交时，通常用隔离的方法将特征值隔离。第6页共16页因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，Gerschgorin发现可以将矩阵A变换为其相似矩阵，以减少Gerschgorin圆的半径，达到隔离Gerschgorin圆的目的。为计算方便，常常取为对角矩阵。思路：第7页共16页特征值的隔离选取正数d1,d2,….dn,并设对角

3、矩阵构造与A相似的矩阵B：则A与B有相同的特征值。适当选取正数，有可能使B的每一个盖尔圆包含A的一个特征值，选取正数的一般原则是：欲使A的第i个盖尔圆缩小，可取<1，其余取1，此时B的其余盖尔圆适量放大（相对于A的同序号盖尔圆而言）；反之，欲使A的第i个盖尔圆放大，可取>1，其余取1，此时B的其余盖尔圆适量缩小；第8页共16页例2矩阵经过对角相似变换后，得第9页共16页三个行Gerschgorin圆分别收缩为：第10页共16页定理1只说明了矩阵A的特征值均在其全部盖尔圆的并集中，而未明确在哪个连通部分中有几个特征值，为此，需下面的定理：定理2（Gerschgorin）对方

4、阵（1）矩阵的特征值都位于其行盖尔区域内；（2）若矩阵有个盖尔圆构成的并集是连通区域，并且与其余个盖尔圆均不相交，则中恰好有的个特征值。推论3、4……P138第11页共16页定义2对方阵，如果则称矩阵为按行对角占优矩阵。如果则称矩阵为按行严格对角占优矩阵。第12页共16页定理4设方阵为行（或列）严格对角占优的，则（1）A为可逆矩阵，且这里证明……P140第13页共16页（2）若A的所有主对角元均为正数，则A的所有特征值都有正实部；（3）若A为Hermite阵，且A的所有主对角元都是正数，则A的所有特征值均为正数。证明……P141证明……第15页共16页证明：用Gersch

5、gorin圆盘定理证明矩阵的特征值为两两不相等的正实数.第16页共16页敬请老师同学们批评指正！谢谢！