圆盘定理及其应用

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1、圆盘定理及其应用摘要：给除了矩阵特征值的定义及确定特征值范围的圆盘定理，并对特征值估计和定位的圆盘定理进行了深入的研究，同时对对角占优实矩阵给出了更加精确的估计和定位特征值的方法。由于圆盘定理対估计特征值有其它方法不可替代的优势，所以圆盘定理在各个行业得到了广泛的应用。在集成电路加工工艺中，有一种工艺是离子注入，它可比较精确的控制离子的注入量和注入位置。但离子注入后会对半导体的晶格结构造成影响，为了让破坏的晶格得到修攵，在离子注入后要对半导体进行退火的加工工艺。本文就利用圆盘定理，基于模拟退火法提11!了-•种新的算法，新算法用于解决实特征值的求解问题，具

2、有通用姓，并且具有很高的稳定性。在精确度要求极高的集成电路退火工艺中，一定会有很好的应用。关键字：圆盘定理矩阵特征值集成电路退火工艺退火算法一引言设A=(«..)gC,,x如果存在/leC,xgC且兀工0,满足=加，则称复数2为方阵A特征值，兀为对应于久的特征向量⑴。我们知道对每一个方阵A=(aii)eCnxn在复数域内有料个特征值。特征值理论及应用渗透到数学和其他科学的很多领域。其主要方面是如何求出斤个特征值。求方阵个特征值从理论上讲是求：det(2E-A)=O,即2”的根。当/7>5时，特征方程没有一般的求根公式。因此，关于特征值的研究转入两方面内

3、容：第一，近似求特征值；第二，特征值的估计和定位⑵。事实上，在很多应用方面往往不必精确求出特征值，而是只要一个粗略的估计就可以了。例如在微分方程和自动控制理论研究中,通过估计矩阵A的特征值是否均为负实部，便可判定系统的稳定性；与差分方法的稳定性有关的问题、与线性方程组迭代法求解有关问题，需要估计矩阵特征值是否均落在单位圆内等。因此，特征值的估计和定位一直是人们关注的课题。现阶段各个行业对矩阵论中特征值的应用也不必精确求出，只要一个估计和定位即可，所以，目前研究阶段处在对特征值估计和定位上。在集成电路加工工艺中，有一个重要的工序就是退火，退火的目的是为了把上

4、一步加工工序中离子注入引起的晶格缺陷修复。在模拟退火的算法中，矩阵特征值的估计和定位也尤其显得重要。对于矩阵特征值的估计和定位，一个很好的定理在其屮得到了普遍的作用。它就是圆盘定理，它很好的解决了上述一系列的问题。二预备知识1矩阵特征值的定义：设A=(aii)eCnXH,如果存在ZeC,xeC且兀工0,满足Ax=/Lv,则称复数久为方阵A特征值，兀为对应于久的特征向量。2Gerschgorin圆盘定理设A=(«,.)gCmx则A的所有特征值入仏，…人(可相重)都落在复平面的几个圆盘Dz(A)={z

5、其中心1,2,…/的并集力9(A)中，其中片二£也“

6、

7、,心1,2,…并4的刃个圆盘中S个圆盘构成一/=!/=1j占个连通域G,与其余ms个圆盘互不相交，则A中仅有S个特征值落在G内。3Ostrowski圆盘定理设AeCMXW,0<6/<1,久为A的任一待征值，则至少有一个i,!

8、盘屮含有且仅含有一个特征值，而S个连通的G氏圆盘屮恰含有S个特征值，而不保证每个圆盘都一定会有4的特征值；(2)如果A的n个圆盘两两不相交，则A有n个互异的特征值，且每一种特征值恰好在孤立的圆盘内。因此，通过不断缩小圆盘半径，孤立各圆盘就可以近似估计和定位A的特征值。三圆盘定理的应用圆盘定理最早是由Gersgorin在1931年提出的，是特征值估计川最古老，最简单和最优美的结果Z—⑶。由于圆盘定理対特征值估计和定位的优越性，在后来的发展中，圆盘定理出现了各种推理和改进的定理。在此基础上，各个行业对圆盘定理的的应用也越来越广泛。本文就对圆盘定理在对角占优实矩

9、阵的特征值估计和模拟退火算法在矩阵实特征值屮的求解问题进行了分析和讨论。1对角占优实矩阵的特征值估计由两个圆盘定理出发，可以得到实用性较强的其它几个定理來估计和定位矩阵的特征值。可是，不论哪个定理，都是选取主对角元为圆心，以一定的半径的圆盘来定位特征值。这种方法的确是一种很不错的方法，但是在实际应用屮我们注意到，用这种方法去估计所有矩阵的特征值的整体分布是很好的，但是它很难估计出每个特征值的具体大小。经过深入的研究发现，产生这一问题的根本原因是圆盘圆心的选择。比如用圆盘尺去覆盖特征值人，如果宓与&相差较大，则定会产生圆盘半径较大的现象，由于知•相当于&的偏

10、移量不同，所以在很多情况下，连个圆盘很难仅仅通过调整半径的方法达到