专题八 距离空间的列紧性与紧性(投)1.ppt

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1、距离空间的列紧性与紧性实数集中的列紧性（致密性）专题七距离空间的列紧性全有界性与紧性距离空间的全有界性实数的有界性距离空间的列紧性与紧性实数集中的有限覆盖已知：在实直线上，有波尔查诺·维尔斯特拉斯“列紧性定理”成立，而且与完备性定理是相互等价的。问题1：在一般的距离空间中，列紧性定理是否也成立？一、距离空间的列紧性引例1考察闭区间[0,1]上的连续函数序列{xn}C[0,1]:xn=xn(t)=tn(n=1,2,…){xn}C[0,1]是有界点列。但是，{xn}C[0,1]是没有收敛子列。事实上

2、，若子列{xnk}{xn},使xnkxC[0,1]函数子列{xnk(t)}在[0,1]上一致收敛于x(t)这与x(t)在[0,1]上连续矛盾。结论：在一般的距离空间(即使是完备的)中，有界点列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。引例2C[0,1]中的点列：显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。事实上，若子列{xnk}{xn},使xnkxC[0,1]函数子列{xnk(t)}在[0,1]上一致收敛于x(t)这与x(t)在[0,1]上连续矛盾。定义5.1(列紧集与列紧空间)设X是距离空间，

3、AX.(1)如果{xn}A,子列{xnk}{xn},使xnkxX(k),则称A是列紧集。(2)如果A是列紧闭集，即{xn}A,子列{xnk}{xn},使xnkxX(k),则称A是自列紧集。(3)如果X本身是(自)列紧集，即{xn}X,子列{xnk}{xn},使xnkxX(k),则称X是列紧空间。注1）自列紧集列紧闭集对全空间X而言，列紧自列紧列紧闭.2）维尔斯特拉斯“列紧性定理”可以表述为：R中的任何有界集都是列紧集如果A是列紧闭定理5.1(列紧集的性质

4、)设X是距离空间，则(1)X中的任何有限点集都是列紧集;(有限点集是常驻点列)(2)在X中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集；(3)若AX,则A列紧集A是自列紧集证(3)“”设AX列紧，{xn}An,xnAxnA,或xnA’ynA,(xn,yn)<1/n(n=1,2,…)A列紧子列{ynk}{yn},ynkyAX(k)(ynk,y)0(k)(xnk,y)(xnk,ynk)+(ynk,y)<1/nk

5、+(ynk,y)0(k){xnk}{xn}A,xnkyAA列紧闭A自列紧“”设A自列紧AA是自列紧A列紧(列紧集的子集是列紧集)定理5.2(列紧空间的性质)X是列紧的距离空间X是完备距离空间X中的自列紧集A是X的完备子空间。但反之不然。证设X是列紧空间，{xn}X是基本列X列紧子列{xnk}{xn},xnkxX{xn}X是基本列>0,N,当n,nk>N时,有(xn,xnk)<当n>N,k时,有(xnk,x)=lim(xnk,xn)(

6、距离函数连续性)xnxX(n)X完备但反之不然。例如，R是完备距离空间，但序列{n}R中没有任何收敛子列，因而R不是列紧空间。然而，R中的任何有界集都是列紧集。二、距离空间的全有界性—网与全有界集定义5.2(—网)设X是距离空间，AX,BX.如果>0,A能被B中个点的开球S(x,)的全体所覆盖，即则称B是A的一个—网。例1R2中一切整数格点所构成的集A={(m,n)

7、m,nZ}构成了R2的一个3/4—网。例2设A={(x,y)

8、x,y均为无理数},B={(x,y)

9、x,yQ

10、},则>0,B都构成了A的一个—网，从而也构成了R的一个—网。（由于有理数在R中的稠密性）注:1）B是A的一个—网yA,xB,使(x,y)<；2）A的—网可以是A的子集，也可以不是A的子集.定义5.3(全有界集)设X是距离空间，AX.如果>0,A的有限的—网B={x1,x2,…,xn},则称A为全有界集.例3闭区间[0,1]使R中的全有界集。证>0,取n>1/,则有1/n<.构造有限点集B={0,1/n,2/n,…,(n-1)/n}[0,1]x,yB是相邻两

11、点，有(x,y)=1/n<.B中各点的开球的全体覆盖了AB是[0,1]区间一个有限的—网[0,1]区间是全有界集。注1)对全有界集A,一定能找到它的有限—网BA.2)全有界集A的有限的—网的构造方法：首先，构造一个有限点集B={x1,x2,…,xn}A；然后，选取网中个开球的公共半径，x,yB是相邻两点，有(x,y)<.例4距离空间(X,)中的基本列构成一个全有界集