立体中动线段中点轨迹.pdf

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1、’2012-4-9端点在成θ角的两异面直线上移动的定长连线段中点轨迹Wangzhijunsarticle端点在所成θ角的两条异面直线上移动的定长连线段中点轨迹问题（030012山西太原五中王志军）一、准备知识：1、两条异面直线到其公垂线段的中垂面距离相等，且等于公垂线段长的一半。2、两条异面直线上任意两点连线段的中点在其公垂线段的中垂面上。（证明提示：两条异面直线上任意两点连线段与其公垂线段的中垂面的交点为连线段的中点。）二、问题及问题的探究：0问题1：设异面直线a、b成90角，它们的公垂线段为EF=2，线段AB=4，且端点A、B分别在异面直线a

2、、b上移动。（1）指出连线段AB中点P的轨迹所在位置。（2）求连线段AB中点P的轨迹。分析：（1）由准备知识2知，连线段AB中点P的轨迹在异面直线的公垂线段的中垂面上。线段AB在异面直线的公垂线段的中垂面上的射影CD=23。异面直线a、b在其中垂面上的射影直线OC与OD垂直相交，把“连线段AB中点P的轨迹”问题转化为“中垂平面上，射影线段CD中点P的轨迹”问题。在Rt∆COD中，线段OP是斜边CD1上的中线，OP=CD=3，即点P到点O的距离为3。所以连线段AB中点P的轨2迹是异面直线的公垂线段的中垂面上以点O为圆心、以3为半径的圆。结论1：端点

3、在互相垂直的两条异面直线上移动的定长连线段中点轨迹是异面直线的公注：此文发表于2006年《中学生数学》第十期上第1页共4页’2012-4-9端点在成θ角的两异面直线上移动的定长连线段中点轨迹Wangzhijunsarticle垂线段的中垂面上的圆。请试思考：端点在互相垂直的两异面直线上移动的定长连线段的三等份点、任意点（除端点外）轨迹又是什么？0问题2：设异面直线a、b所成60角，它们的公垂线段为EF=2，线段AB=4，且端点A、B分别在异面直线a、b上移动。（1）指出连线段AB中点P的轨迹所在位置。（2）求连线段AB中点P的轨迹。分析：（1）同

4、问题1（2）由图可知，“连线段AB中点P的0轨迹”问题转化为“中垂平面上，射影线段CD的端点在成60角的相交直线OC和OD上移动时，射影线段CD中点P的轨迹”问题。”下求点P的轨迹以点O为原点，以∠COD的角平分线所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系（这00样建系较易消参数，轨迹方程简单、标准）。点C(mcos30,msin30)、点0⎧4x⎧⎪2x=(m+n)cos30⎪=m+n00⎨0⎨3D(ncos(−30),nsin(−30))。设P(x,y),则⎪⎩2y=(m−n)sin30即⎪⎩4y=m−n2222x2由余弦定理得m+n−mn=(23

5、)=12,消去mn得+y=1。所以，连线段AB中9点P的轨迹是异面直线的公垂线段的中垂面上以点O为中心，长轴长为6，短轴长为2的椭圆。0结论2：端点在所成60的两异面直线上移动的定长连线段中点轨迹是异面直线的公垂线注：此文发表于2006年《中学生数学》第十期上第2页共4页’2012-4-9端点在成θ角的两异面直线上移动的定长连线段中点轨迹Wangzhijunsarticle段的中垂面上的椭圆0请试思考：端点在所成60的两异面直线上移动的定长连线段的三等份点、任意点（除端点外）轨迹又是什么？问题3：设异面直线a、b成θ角，它们的公垂线段为EF=p，

6、线段AB=q，且端点A、B分别在异面直线a、b上移动。（1）指出连线段AB中点P的轨迹所在位置。（2）求连线段AB中点P的轨迹。分析同问题2：以点O为原点，以∠COD的角平分线所在的直线为x轴，建立平θθθθ面直角坐标系。点C(mcos,msin)、点D(ncos(−),nsin(−))。设P(x,y),则22222⎧4x222⎪=(m+n)⎧222x2y⎧θ⎪2θ⎪m+n=+2x=(m+n)coscos2θ2θ⎪⎪2⎪2⎪cossin⎨⎨2⎪22⎪2y=(m−n)sinθ即⎪4y=(m−n)2得⎨22代入由余弦定理⎪⎩2⎪θ⎪mn=x−y2⎪s

7、in⎪2θ2θ⎩2⎪cossin⎩2222122得m+n−2mncosθ=(q−p)式中,消去m、n得422222x(1−cosθ)2y(1+cosθ)22xy+=q−p，即+=1为异面直线的公垂线段θθ222222q−pq−pcossin222θ2θ4tan4cot22的中垂面上的椭圆。结论3：端点在所成θ角的两异面直线上移动的定长连线段中点轨迹是0①当θ=90时，是异面直线的公垂线段的中垂面上的圆00②当0<θ<90时，是异面直线的公垂线段的中垂面上的椭圆0（特殊地，当θ=0时，端点在两平行直线上移动的定长连线段中点轨迹是到两平行直线等距且共

8、面的平行直线。）三、问题的进一步扩展和研究过程的数学价值：（1）本问题可扩展为“一端点固定在两异面直线一条直线上，另一端点在与它成θ角的