熊斌教授、冷岗松教授、李胜宏教授讲座.pdf

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1、3月14日熊斌主讲（华东师范大学数学系教授）保加利亚（波兰）竞赛题点评：1.数论试题较多，常与数列、函数、不等式结合；2.平面几何题；3.组合题较少。注：罗马尼亚、越南试题也难，但倾向于高等数学。例1．（2001年）数列{a}定义如下：a=k，a=5k-2，a=3a-2a，a=1,2,3,…。n12n2n1n其中k位一实常数。(1)求所有的k的值，使得数列{a}是收敛的；n278aaann1n1(2)若k=1，求证：a=n2，n=1,2,3,….1aann1解：(1)a-a=2(a-a)n2n1

2、n1n2=2(a-a)nn1=…n=2(a-a)21n+1=2(2k-1)n-1∴a-a=2(2k-1)nn1n-2a-a==2(2k-1)n1n2……a-a=2(2k-1)2123n-1上面各式相加得：a-a=(2k-1)(2+2+2+…+2)n1n∴a=(2k-1)2+2-3kn由于{a}收敛，故2k-1=0，n1∴k=.2n(2)当k=1时，a=2-1.n22nn78aaa122421nn11n∴=n1aa321nn1n1=4×2+n321n=4×

3、2-1=a.n2评注：求数列{a}的通项公式是解决问题的关键.n例2．（2000年）设{a}为一个整数数列，对任意正整数n,均有n(n)1a(n)1a2n1n1n若2000

4、a，求最小的正整数n，使得2000

5、a.1999n解：令n＝1，则a1＝0。an设b，则nn1bb2nn1n2,3,，nn11nnbbnn111故2nn11nnbbnn12112nn12nn21……bb113223223各式相加得bnb2

6、112nn22a2∴bn12n2a2∴an11n2。n2a2故a199811999219992由2000

7、a得1999a21000

8、999119992，21000,9991a2∴1000

9、(1)2，2于是a为偶数，2可设a2m，则21000

10、m119992∴1000

11、m12即1000

12、m3，再令mt31000，则an(1)[(1000tn2)2]

13、nnn(1)1000t2(nn1)2(n1)因为2000

14、a,n所以2000

15、2(nn1)2(n1)，2故1000

16、n1则n为奇数，可设n2k1，则250

17、(kk1)，而kk,1133所以5

18、k或5

19、k1，取k124，∴n249.评注：(1)分析题设条件，利用奇偶分析是解决本题的关键.(2)本题求数列{b}的通项时，还可以采用如下的方法；nnb(1n)b2nn1bb22b2nn12nn12b2bn(1)2n2并且，由nb(1n)b2与nn1

20、nbnb1(n22)n2相减，可得2bbb，nn12n可知数列b是等差数列。n例3．（1996年）数列{a}定义如下：nannaa1,,n1,2,11nnan2证明：当n4时，有[an]n，这里x表示不超过x的最大整数.xn证明：设f()xxR，nx设0xxn122x211xxxn2fx21fxnxx120故f(x)在,0(n]上是减函数，同理，f(x)在[n,)上是增函数。22[]annan1nnnan1nn下面利用归纳

21、法先证明：na(n)3①nn13事实上，aaa1,2,2，显然a3，12332故n＝3时，①式成立。n设na，nn1∵f(x)在,0(n]上是减函数，n∴afafnn1n11n1n1nn1n1且afafnnn111nnnn故对n＋1时命题①成立。下面利用归纳法再证明：an(1n)4②n∵由①有an1，n1nn1∴a，故a，n1nn1n2∵f(x)在,0(n]上是减函数，n1∴afafnn1n22

22、2nn12nnn12n下面证明an2③n122nn12n③n2nn12n3222nnn21nnn2322641nnn0上式当n≥4时成立。故③式成立，即原命题成立。评注：(1)