可分离变量的微分方程.ppt

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1、第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、典型例题一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.分离变量，得：①设y=(x)是方程①的解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有当G(y)与F(x)可微且G'(y)=g(y)0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得

2、3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、典型例题解得例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得解分离变量,得两端积分,得解得解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:解根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时解分离变量,解得然后积分:可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定

3、：分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数.(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤思考与练习求方程的通解:提示:方程变形为练习题练习题答案例9有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化

4、规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间间隔水面的高度由h降至h+dh,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为