函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究.doc

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1、函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中闫辉●知识梳理1.函数的奇偶性：（1）奇函数：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数。（2）偶函数：如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.（3）奇、偶函数的性质①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.③若奇函数的定

2、义域包含数0，则f（0）=0.④奇函数的反函数也为奇函数.⑤奇偶函数的运算性质：设y=f(x)(x∈D1)为奇函数，y=g(x)(x∈D2)为偶函数，,则在D上有：奇±奇＝奇（函数）偶±偶＝偶（函数）奇×奇＝偶（函数）偶×偶＝偶（函数）奇×偶＝奇（函数）2.函数的单调性：（1）增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数y=f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区

3、间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.（2）函数单调性可以从三个方面理解①图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.②定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.③定量刻画，即定义.（3）关于函

4、数单调性的几个重要结论①和函数的单调性：若y=f(x)与y=g(x)在公共区间D内都是增（减）函数，则函数y=f(x)+g(x)在D内是增（减）函数。若y=f(x)在区间D内是增（减）函数，则函数y=kf(x)k>0(k<0)在D内是增（减）函数。②奇偶函数在对称区间上的单调性奇函数在(a,b)和(-b,-a)(a

5、f(x)≤f(x0)）都成立，那么f(x0）叫做函数y=f(x)的最小值，（最大值）记做：ymin=f(x0)（ymax=f(x0)）（2）求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。（3）数形结合法：利用函数图象求出函数的最值.（4）函数的单调性法.一、函数奇偶性的判定问题。【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=

6、x+1

7、－

8、x－1

9、；（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=；（4）f（x）=

10、剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=

11、－x+1

12、－

13、－x－1

14、=

15、x－1

16、－

17、x+1

18、=－（

19、x+1

20、－

21、x－1

22、）=－f（x），∴f（x）=

23、x+1

24、－

25、x－1

26、是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）==，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函数.（

27、4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.二、奇偶函数的解析式问题。【例2】已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是__________.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0

28、，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg=lg（1－x）.答案：f(x)=lg（1－x）三、奇偶函数的图象问题。【例3】下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相