对矩阵初等变换应用中某些问题的探讨.pdf

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1、第22卷第5期大学数学VOl.22N.52006年10月COLLEGEMATHEMATICSO.2006对矩阵初等变换应用中某些问题的探讨吴燕黄国荣(广东轻工职业技术学院广东广州510300)摘要I运用初等变换的正确步骤可以减少计算量现行用初等变换求向量组的一个极大无关组的两种方法各有所长文5I的批评是不全面的.关键词I初等变换;极大无关组;层高中图分类号IO151.21文献标识码IC文章编号I1672-1454(2006)05-0124-05矩阵的初等变换在建立线性代数理论中起着很重要的作用它们是C(i)互换第i行

2、(列)及第j行(列)记作r(c)其对应的初等矩阵记为P(ij)(这种记法i%rji%cj是现行教材的通常记法).(ii)第i行(列)乘以非零常数c记作rc(cc)其对应的初等矩阵记为P(i(c)).ii(iii)第j行(i列)的k倍加到第i行(j列)记作rk+r(ck+c)其对应的初等矩阵记jiij为P(ij(k)).现行线性代数教材中初等变换一般有四种应用C1.求矩阵或向量组的秩这时行变换列变换可同时进行;2.解线性方程组这时只能用行变换;3.标准化二次型这时行列初等变换的使用有特定的方式;4.求向量组的极大无关组

3、有人用行变换有人用列变换产生了分岐本文就此作一些讨论并介绍了一种省时的运用初等变换方法另外也给出一种可逆矩阵的初等矩阵分解它比文5I更精细.1用初等变换求极大无关组有向量组000求其一个极大无关组.12n目前通行的教材上有用初等变换求一个向量个数有限的向量组的极大无关组时有两种方法C这里将这两种方法分别记为行法(H法)和列法(L法).1-2IH法C在上世纪90年代前的教材多用此法.作矩阵AA的行向量就是000用行的初等变换将A变成阶梯矩阵阶梯矩阵的非零行所12n对应的向量就构成了向量组000的极大无关组.这里不宜作互

4、换两行的初等变换若进行了互12n换两行的变换求极大无关组的方法见下例.3-4IL法C作矩阵A将01020n分别作为A的列向量用行的初等变换将A变成阶梯矩阵阶梯矩阵的非零行首非零元(从左至右数非零行的第一个不为零的元素称为该行的首非零元)所在的列对应的向量就构成了向量组000的极大无关组.若进一步将A化为简化阶梯矩阵(一个阶梯矩12n阵若非零行的首非零元都是1且首非零元所在列的其余元素均为零这个阶梯矩阵称为简化阶梯矩阵)这时每一列的元素(除掉阶梯矩阵下方零行的元素外)即为用极大无关组表示该向量的表示系数.例求下列向量组

5、的极大无关组收稿日期I2004-07-19第5期吴燕等对矩阵初等变换应用中某些问题的探讨12501<1110>02<1100>03<3320>04<1000>05<3210>.解H法.作矩阵011110111002110000-10A1033320A200-100410000-1-100532100-1-20111011100-1-100-1-10r2%r400-10A3B100-10.00-10000000-1000000-1-20B1是阶梯矩阵因为在A1化为B1的过程中用了变换r2%r4所以对B1再作变换r2%r

6、4.11100000r2%r4B1C100-10.0-1-100000C1的非零行对应向量010304故010304是极大无关组.矩阵A的第2行由A的第1行乘-1加到第2行得到故A的第2行向量<00-10>21202+<-1>01故H法的思路比较直观易为学生接受每一次变形都把向量之间的关系表述出来但通常教材都不给出H法正确性的解释.L法.作矩阵113131131311302000-1-1T0T0T0T0T>A<012345102010-1-1-1-2000000000011313b11b12b13b14b15r2%r

7、30-1-1-1-20b22b23b24b25B.000-1-1000b34b350000000000B是阶梯矩阵其非零行的首非零元分别在第1~2~4列故010204是极大无关组.进一步将B化为简化阶梯矩阵1020101101BC.0001100000由于C的第3列非零行的三个元素为2~1~0它们分别乘000就得到0001243321+102+004.同样0000511+12+14.L法的思路不似H法明显由于解线性方程组AXI就是求用系数矩阵A的列向量表示向量I的表示系数故从解线性方程组的初等变换法不难理解L法的正确

8、性H法不足的是向量间的线性关系不易从变换结果<上述的矩阵B>看出来.由于一般教材在介绍用阶梯矩阵判断极大无关组的方法1时总不给出正确性的任何说明这种说明也无必要所以L法的这种不足之处也可以掩盖过去.所以126大学数学第22卷近年出版的线性代数教材多用L法但从某种角度说用L法有损数学教材逻辑的严密性.由矩阵B还可以获得一些其它的极大无关组.定义对