线性代数试卷线性代数解答题2.doc

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1、４５２Ｐ０３５　　　　　　　７６设：是方程组的解向量，若也是的解向量，则，．４５２Ａ０３５　　　　　　　７６证明：由已知得，）＿＿４分　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿８分　　　又，故．　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿１０分４５２Ｐ０３８　　　　　　７７已知：是非零的维列向量，，且，求证：不可逆．５４２Ａ０３８　　　　　　７７证明：由于，故　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　５分　　　所以，是的一个非零解．　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　８分　　　则　，即，不可逆．　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分４５２Ｐ０３９　　　　　　７８已知：，的每一个列向量都是的解，

2、求证：．４５２Ａ０３９　　　　　　７８证明：由于，，　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　２分　　　故的解空间的维数小于３，　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　４分而的三个列向量都是的解，故的三个列向量线性无相关,从而．_____________________10分５５３Ｐ００４　　　　　　　７９设为维列向量，且，求证：为对称正交阵．５５３Ａ００４　　　　　　　７９证明：，　　所以，为对称阵．　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　４分　　，　＿＿＿＿＿　８分　　由已知，故，　　因此，，所以，为对称正交阵．＿＿＿＿＿＿＿１０分５５３Ｐ００６　　　　　　　８０已知：，且，求证：正交．５５３

3、Ａ００６　　　　　　　８０证明：＝＝＿＿＿　４分　　＝＝　　　＿＿＿＿＿＿＿　　８分　　＝．　　　　　故正交．　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５３Ｐ００７　　　　　　８１若半正定，则对任何正实数是正定的．５５３Ａ００７　　　　　　８１证明：由已知，存在正交阵使，＿＿＿２分　　　，　　　的特征值是正实数，　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　６分　　　故正定，所以，与有相同的特征值，　　　因此，是正定阵．　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５３Ｐ０１７　　　　　　　８２已知：的特征值为，求证：的特征值为，且　　　．　　５５３Ｐ０１９　　　　　　８２证明：，　　　故的特征值

4、为．　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　５分　　　又在上式中取，得，　　　即，，　　　因此，．　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５３Ｐ０１９　　　　　　８３设：满足，且，求证：有特征值．５５３Ａ０１９　　　　　　８３证明：由于，从而，，　　　所以，－３是的特征值．　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　４分　　　于是，是的特征值．　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　６分　　　又，所以，有特征值．＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５３Ｐ０２４　　　　　　８４求证：对任何实对称矩阵，必有实数，使是正定矩阵．５５３Ａ０２４　　　　　　８４证明：设的特征值为，故存在正交阵，使　　　，从而　　

5、　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　２分　　　　　　　　　　　　．　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　６分　　　所以，只需取的实数，则　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　８分　　　　　　从而的特征值全大于零．又，　　　　所以，是正定矩阵．　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５３Ｐ０２７　　　　　　　８５如果阶方阵与相似，与相似，求证：与相似．５５３Ａ０２７　　　　　　　８５证明：由已知存在可逆阵，，使．＿＿＿＿＿　４分　　　则令：，于是，　　　＿＿＿＿＿＿　６分　　　　　，　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿　８分　　　所以与相似．　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５３Ｐ０３２　

6、　　　　　　８６设：，分别是阶正定阵，求证：也正定，且其特征值是与的全部特征值．５５３Ａ０３２　　　　　　　８６证明：＝，故对称．＿＿＿＿＿＿　２分　　　．　　　＿＿＿＿＿＿　６分　　　由于，分别正定，故与的全部特征值全部大于零．　　　由上式知，的特征值是与的全部特征值，且全部大于零．＿＿＿　８分　　　因此，正定．　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分５５４Ｐ０２３　　　　　　　８７设：，都是正定的实矩阵，求证：的特征根都大于零．５５４Ａ０２３　　　　　　　　８７证明：，都是正定的实矩阵，故存在可逆矩阵，使　　　，　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　２分　　　于是，，＿＿　

7、４分　　　从而，相似于，　　　所以，于有相同的特征值，　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　６分　　　又可逆，所以，可逆，故为正定阵，　　　从而，的特征值全部大于零．　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　８分　　　所以，的特征根都大于零．　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿　１０分２４３Ｐ０３０　　　　　　８８设：，求使两两正交．２４３Ａ０３０　　　　　　８８解：设所求向量，则，　　即，．　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　２分