全国初中数学竞赛辅导(初1)第20讲 应用问题的算术解法与代数解法

《全国初中数学竞赛辅导(初1)第20讲 应用问题的算术解法与代数解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第二十讲应用问题的算术解法与代数解法　　从小学到中学，数学课程最显著的变化，就是从算术学习到代数和几何的学习．仅就代数来说，它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题．从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的．首先扩大了数的范围，从正整数、正分数和零发展到有理数、实数；其次，在用字母表示数的基础上，应用“运算律”解代数方程和研究代数式．由于在常见的数量关系中，可以说应用问题是最基本的讨论对象，因此，在小学和中学的数学课中，都有解应用问题这一内容．只不过在小学是用“算术解法”，而在中学是用“代数解法”．下面举

2、几个典型实例，来比较一下这两种解法的不同，从而进一步体会代数解法的优越性．　　例1某农场计划播种小麦与大豆共138公顷，种小麦的面积是种大豆面积的4倍．试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷？　　算术解法由本题所给的条件可知，播种总面积等于种大豆面积的(4+1)倍，因此种大豆的公顷数=总播种公顷数÷(4+1)，　　种小麦的公顷数=总播种公顷数-种大豆的公顷数，即138÷(4+1)=27.6(公顷)，138-27.6=110.4(公顷)．　　即应种大豆27.6公顷，小麦110.4公顷．　　代数解法用一个字母x表示要求的一个未知量，例如，设种大豆

3、x公顷；再由题目的条件可知，种小麦4x公顷．因此，只要根据关系式　　总播种公顷数=种小麦公顷数+种大豆公顷数　　和已知条件“总公顷数为138”，就可以直截了当地写出以下等式(含有未知数的等式，也叫方程)4x+x=138．　　由于x是一个未知数，但它终归是一个数，所以可以对它应用运算律．为此，我们对上式做如下变形(4+1)x=138，　　即5x=138．　　两边同除以5，得x=27.6(公顷)．　　从而4x=4×27.6=110.4(公顷)．　　即种大豆27.6公顷，种小麦110.4公顷．　　比较分析本题的算术解法中，要求对题意进行思考，先

4、求得解决问题的公式，然后再逐步地对公式中的计算找出解释的理由，从而作出解答．而代数解法，只要求用字母x表示待求的未知量，再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系，然后直截了当地列出一个等式，再应用运算律(或等式的基本性质)，求出这个未知数x应取的数值，使问题得到解决．　　例2鸡兔同笼．共有56个头，160只脚，试问鸡、兔各多少只？　　算术解法这是一个古老而有趣的数学问题，由于思考方法不同，可有不同的解法，以下是较为简单的解法．由于已知鸡、兔共160只脚，如果我们假定每只兔抬起2只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是160只的一半，即80只脚

5、．这80只脚中鸡的脚数与头数相等．因此，　　兔数为：　　　80-56=24(只)；　　鸡数为：　　　56-24=32(只)．　　代数解法设兔为x只，则鸡为(56-x)只，兔的脚数为4x，鸡的脚数为2(56-x)，又由已知条件，鸡兔一共有160只脚，可列出方程4x+2(56-x)=160．　　去括号4x+112-2x＝160，　　合并同类项4x-2x＝160-112，　　即　　　2x=48，　　所以　　x=24(只)…兔数．　　从而　　56-24=32(只)…鸡数．　　比较分析本题算术解法中，根据题设特点，利用了一个特殊技巧，即鸡、免各抬起

6、一半脚，然后依据其余脚数中，鸡的脚数与头数一一对应关系，得到解答．这种解法虽然有效，但不具有一般性，这也是算术解法的一个弱点，即一个问题一种解法，缺乏一般的通用性．而代数解法则不同，在本题中，只须用一个字母x代表兔(或鸡)的数量，然后便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程．下一步解方程求未知数x的值，只是进行变形和运算，不需要什么特殊技巧．因此，代数解法具有一般性，这也是它优于算术解法之所在．　　在前面的两例中，虽然比较分析了应用问题的算术解法和代数解法的特点，但对两者的联系未作进一步的探讨，下面通过例3，初步讨论一下这个问题

7、．　　例3设有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问其中5元、10元的人民币各几张？　　算术解法假如全部是5元的人民币，则共计5×12=60(元)，　　与总和相差85-60=25(元)．　　现在让我们逐次用一张10元的票子去换一张5元的票子，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加10-5=5(元)．　　那么换几次才能补足总差额25元呢？这只要做一次除法就行了，即25÷5=5．所以答案是　　10元人民币的张数=(85-60)÷(10-5)①=25÷5＝5．　　5元人民币的张数=12-5=7．　　代数解法设10元人民币的张数为x，则5

8、元人民币的张数为(12-x)，其中x是一个待求的未知数，在此它只是10元人民币张数的简写，利用上述未知数符号，根据　　10元人民币的总元数+5元人民币的总元数=85，则可写出下列方程　　10x